Bienvenue dans la section des exercices sur les équations du second degré. Ces exercices vous aideront à maîtriser la résolution des équations quadratiques en utilisant différentes méthodes.
Résolvez l'équation suivante en utilisant la méthode de factorisation :
\[x^2 - 5x + 6 = 0\]
Pour résoudre cette équation, nous allons la factoriser :
\[x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0\]
D'après le théorème du produit nul, si le produit de facteurs est égal à zéro, alors l'un des facteurs doit être égal à zéro. Donc :
\[x - 2 = 0 \quad \text{ou} \quad x - 3 = 0\]
\[x = 2 \quad \text{ou} \quad x = 3\]
Les solutions de l'équation sont donc x = 2 et x = 3.
Résolvez l'équation suivante en utilisant la formule du discriminant :
\[2x^2 + 5x - 3 = 0\]
Pour résoudre cette équation, nous allons utiliser la formule du discriminant :
1. Identifions les coefficients : a = 2, b = 5, c = -3
2. Calculons le discriminant Δ :
\[\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49\]
3. Comme Δ > 0, l'équation a deux solutions réelles distinctes :
\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{1}{2}\]
\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 - 7}{4} = -3\]
Les solutions de l'équation sont donc x₁ = 1/2 et x₂ = -3.
Montrez que l'équation suivante n'a pas de solution réelle :
\[x^2 + 4x + 5 = 0\]
Pour montrer que cette équation n'a pas de solution réelle, calculons son discriminant :
1. Identifions les coefficients : a = 1, b = 4, c = 5
2. Calculons le discriminant Δ :
\[\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4\]
3. Comme Δ < 0, l'équation n'a pas de solution réelle.
En effet, la racine carrée d'un nombre négatif n'est pas définie dans l'ensemble des nombres réels. Donc, cette équation n'a pas de solution réelle.