Exercices sur les Suites (Première)

Exercices sur les suites numériques

Exercice 1 : Suite arithmétique

Soit \((u_n)\) une suite arithmétique définie par \(u_n = 3n - 5\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

  1. Calculez les 5 premiers termes de la suite.
  2. Déterminez la raison de la suite.
  3. Exprimez \(u_n\) en fonction de \(u_0\) et de n.

Solution :

  1. Les 5 premiers termes sont :
    • \(u_0 = 3(0) - 5 = -5\)
    • \(u_1 = 3(1) - 5 = -2\)
    • \(u_2 = 3(2) - 5 = 1\)
    • \(u_3 = 3(3) - 5 = 4\)
    • \(u_4 = 3(4) - 5 = 7\)
  2. La raison \(r\) est la différence constante entre deux termes consécutifs : \[r = u_{n+1} - u_n = (3(n+1) - 5) - (3n - 5) = 3n + 3 - 5 - 3n + 5 = 3\]
  3. Pour exprimer \(u_n\) en fonction de \(u_0\) et de n, on utilise la formule générale d'une suite arithmétique : \[u_n = u_0 + nr\] Ici, \(u_0 = -5\) et \(r = 3\), donc : \[u_n = -5 + 3n\]

Exercice 2 : Suite géométrique

Soit \((v_n)\) une suite géométrique définie par \(v_n = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

  1. Calculez les 4 premiers termes de la suite.
  2. Déterminez la raison de la suite.
  3. Calculez la somme des 10 premiers termes de la suite.

Solution :

  1. Les 4 premiers termes sont :
    • \(v_0 = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 2\)
    • \(v_1 = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^1 = \frac{2}{3}\)
    • \(v_2 = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{2}{9}\)
    • \(v_3 = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{2}{27}\)
  2. La raison \(q\) est le rapport constant entre deux termes consécutifs : \[q = \frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n} = \frac{1}{3}\]
  3. La somme des 10 premiers termes \(S_{10}\) d'une suite géométrique se calcule par la formule : \[S_{10} = v_0 \cdot \frac{1-q^{10}}{1-q}\] Ici, \(v_0 = 2\) et \(q = \frac{1}{3}\), donc : \[S_{10} = 2 \cdot \frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{10}}{1-\frac{1}{3}} = 2 \cdot \frac{1-\frac{1}{59049}}{\frac{2}{3}} = 2 \cdot \frac{\frac{59048}{59049}}{\frac{2}{3}} = 3 \cdot \frac{59048}{59049} \approx 2.9995\]