Exercices sur la fonction dérivée

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Exercice 1 : Calcul de dérivées simples

Calculez les dérivées des fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = 3x^2 - 2x + 1\)
  2. \(g(x) = \sqrt{x} + 2\)
  3. \(h(x) = \frac{1}{x} + x^3\)

Solution :

  1. \(f'(x) = 6x - 2\)
  2. \(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
  3. \(h'(x) = -\frac{1}{x^2} + 3x^2\)

Exercice 2 : Dérivée d'un produit

Calculez la dérivée de la fonction \(f(x) = (2x + 1)(x^2 - 3)\)

Solution :

Utilisons la règle du produit : \((uv)' = u'v + uv'\)

Ici, \(u = 2x + 1\) et \(v = x^2 - 3\)

\(u' = 2\) et \(v' = 2x\)

\(f'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x + 1)(2x)\)

\(f'(x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x\)

\(f'(x) = 6x^2 + 2x - 6\)

Exercice 3 : Dérivée d'un quotient

Calculez la dérivée de la fonction \(f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}\)

Solution :

Utilisons la règle du quotient : \((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)

Ici, \(u = x^2 + 1\) et \(v = x - 2\)

\(u' = 2x\) et \(v' = 1\)

\(f'(x) = \frac{2x(x-2) - (x^2+1)(1)}{(x-2)^2}\)

\(f'(x) = \frac{2x^2 - 4x - x^2 - 1}{(x-2)^2}\)

\(f'(x) = \frac{x^2 - 4x - 1}{(x-2)^2}\)

Exercice 4 : Application à l'étude des variations

Soit la fonction \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) définie sur \(\mathbb{R}\).

  1. Calculez \(f'(x)\).
  2. Déterminez les intervalles sur lesquels \(f\) est croissante ou décroissante.

Solution :

  1. \(f'(x) = 3x^2 - 6x\)

    \(f'(x) = 3x(x - 2)\)

  2. Étudions le signe de \(f'(x)\) :

    \(f'(x) = 0\) pour \(x = 0\) et \(x = 2\)

    Tableau de signes :

    x -∞ 0 2 +∞
    f'(x) + - +
    Variations de f ↗ ↘ ↗

    f est croissante sur \(]-∞, 0]\) et \([2, +∞[\)

    f est décroissante sur \([0, 2]\)