Une entreprise fabrique deux types de produits : A et B. La fabrication d'un produit A nécessite 2 heures de travail et 3 kg de matière première, tandis que la fabrication d'un produit B nécessite 3 heures de travail et 2 kg de matière première. L'entreprise dispose de 60 heures de travail et 90 kg de matière première par semaine.
1. Système d'inéquations :
2. Fonction de bénéfice : B(x,y) = 40x + 50y
3. La solution optimale se trouve à l'intersection des deux contraintes :
En résolvant ce système, on trouve x = 20 et y = 15.
La production optimale est donc de 20 produits A et 15 produits B, pour un bénéfice maximal de 1550€.
On souhaite construire un enclos rectangulaire le long d'un mur. On dispose de 100 mètres de clôture pour les trois autres côtés.
1. Si x est la largeur et y la longueur :
2. Pour trouver le maximum :
Les dimensions optimales sont : largeur = 25m, longueur = 50m
L'aire maximale est A(25) = 1250 m²
Un objet est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de 20 m/s depuis une hauteur de 1,5 m. Sa hauteur h (en mètres) en fonction du temps t (en secondes) est donnée par l'équation : h(t) = -4,9t² + 20t + 1,5
1. Hauteur maximale :
La hauteur maximale atteinte est environ 21,8 mètres.
2. L'objet touche le sol quand h(t) = 0 :
L'objet touche le sol après environ 4,18 secondes.
Une entreprise produit des widgets. Le coût total de production C(x) en euros pour x widgets est donné par : C(x) = 0,5x² + 10x + 1000. Le prix de vente unitaire est de 50€.
1. Bénéfice : B(x) = Recette - Coût
2. Pour maximiser le bénéfice :
Le bénéfice est maximal pour une production de 40 widgets.
3. Bénéfice maximal :
Le bénéfice maximal est de 200€.