Bienvenue dans cet exercice sur l'étude des variations de fonctions. Nous allons explorer comment utiliser la dérivée pour analyser le comportement d'une fonction.
Rappel théorique
Pour étudier les variations d'une fonction f sur un intervalle I, on suit ces étapes :
- Calculer la dérivée f'(x) de la fonction f(x)
- Déterminer le signe de f'(x) sur l'intervalle I
- En déduire les variations de f sur I :
- Si f'(x) > 0 sur un intervalle, f est strictement croissante sur cet intervalle
- Si f'(x) < 0 sur un intervalle, f est strictement décroissante sur cet intervalle
- Si f'(x) = 0 en un point, ce point peut être un extremum local de f
Exercice 1
Soit la fonction f définie sur ℝ par : f(x) = x³ - 3x² + 2
- Calculez la dérivée f'(x).
- Étudiez le signe de f'(x).
- Déterminez les variations de f sur ℝ.
- Trouvez les extremums locaux de f, s'ils existent.
Indice
La dérivée d'un polynôme de degré 3 est un polynôme de degré 2. Pensez à utiliser la formule du discriminant pour étudier le signe de f'(x).
f'(x) = 3x² - 6x
[Graphique représentant la fonction f(x) = x³ - 3x² + 2 et sa dérivée]
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Exercice 2
On considère la fonction g définie sur ]0; +∞[ par : g(x) = ln(x) - x + 1
- Calculez la dérivée g'(x).
- Étudiez le signe de g'(x).
- Déterminez les variations de g sur ]0; +∞[.
- Montrez que g admet un maximum et déterminez-le.
Indice
Rappelez-vous que la dérivée de ln(x) est 1/x. Pour étudier le signe de g'(x), comparez 1/x et 1.
g'(x) = 1/x - 1
[Graphique représentant la fonction g(x) = ln(x) - x + 1]
Voir la solution
Pour aller plus loin
Si vous souhaitez approfondir vos connaissances sur l'étude des variations de fonctions, voici quelques ressources supplémentaires :
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