Calculez le produit scalaire des vecteurs suivants :
\(\vec{u}(3, 4)\) et \(\vec{v}(-1, 2)\)
Solution :
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times (-1) + 4 \times 2 = -3 + 8 = 5\)
Le produit scalaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est égal à 5.
Déterminez si les vecteurs suivants sont orthogonaux :
\(\vec{a}(2, -1)\) et \(\vec{b}(-1, -2)\)
Solution :
Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times (-1) + (-1) \times (-2) = -2 + 2 = 0\)
Le produit scalaire est nul, donc les vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) sont orthogonaux.
Calculez l'angle entre les vecteurs suivants :
\(\vec{p}(1, \sqrt{3})\) et \(\vec{q}(\sqrt{3}, -1)\)
Solution :
1) Calculons le produit scalaire : \(\vec{p} \cdot \vec{q} = 1 \times \sqrt{3} + \sqrt{3} \times (-1) = 0\)
2) Calculons les normes : \(|\vec{p}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2\) et \(|\vec{q}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = 2\)
3) Utilisons la formule : \(\cos \theta = \frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{|\vec{p}| |\vec{q}|} = \frac{0}{2 \times 2} = 0\)
4) Donc, \(\theta = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}\)
L'angle entre \(\vec{p}\) et \(\vec{q}\) est de 90° ou \(\frac{\pi}{2}\) radians.
Soit \(\vec{u}(3, 4)\) et \(\vec{v}(1, 0)\). Calculez la projection orthogonale de \(\vec{u}\) sur \(\vec{v}\).
Solution :
La formule de projection est : \(\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \vec{v}\)
1) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 1 + 4 \times 0 = 3\)
2) \(|\vec{v}|^2 = 1^2 + 0^2 = 1\)
3) \(\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{3}{1} \vec{v} = 3\vec{v} = (3, 0)\)
La projection orthogonale de \(\vec{u}\) sur \(\vec{v}\) est le vecteur (3, 0).
Soit un triangle ABC avec A(0, 0), B(4, 0) et C(2, 3). Montrez que ce triangle est rectangle en B.
Solution :
Pour montrer que le triangle est rectangle en B, nous devons prouver que \(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0\)
1) \(\vec{BA} = (-4, 0)\) et \(\vec{BC} = (-2, 3)\)
2) Calculons le produit scalaire :
\(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-4) \times (-2) + 0 \times 3 = 8 + 0 = 8\)
Le produit scalaire n'est pas nul, donc le triangle n'est pas rectangle en B.
Vérifions s'il est rectangle en A ou C :
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \times 2 + 0 \times 3 = 8\) (non rectangle en A)
\(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-2) \times (-2) + (-3) \times (-3) = 4 + 9 = 13\) (non rectangle en C)
Conclusion : Ce triangle n'est rectangle en aucun de ses sommets.