Cette page présente des exercices avancés sur la trigonométrie et les nombres complexes. Ces problèmes vous aideront à comprendre les liens entre ces deux domaines mathématiques et à développer vos compétences en résolution de problèmes.
Soit z = 3 + 4i. Exprimez z sous sa forme trigonométrique r(cos θ + i sin θ).
Pour trouver la forme trigonométrique, nous devons calculer r et θ :
1. Calculons r (le module) :
r = √(3² + 4²) = √25 = 5
2. Calculons θ (l'argument) :
θ = arctan(4/3) ≈ 0.927 radians ≈ 53.13°
Donc, z sous sa forme trigonométrique est :
z = 5(cos 53.13° + i sin 53.13°)
Trouvez les racines cubiques de z = 8(cos 60° + i sin 60°).
Pour trouver les racines cubiques, nous utilisons la formule :
w_k = ∛r (cos((θ + 2kπ)/3) + i sin((θ + 2kπ)/3))
où k = 0, 1, 2
1. ∛r = ∛8 = 2
2. θ = 60° = π/3 radians
Les trois racines cubiques sont :
Pour k = 0 : w_0 = 2(cos(π/9) + i sin(π/9))
Pour k = 1 : w_1 = 2(cos(11π/9) + i sin(11π/9))
Pour k = 2 : w_2 = 2(cos(21π/9) + i sin(21π/9))
Résolvez l'équation complexe : z² + z + 1 = 0 en utilisant les nombres complexes et la trigonométrie.
Cette équation est connue comme l'équation des racines cubiques de l'unité.
1. Les solutions sont de la forme :
z_k = cos((2kπ + π)/3) + i sin((2kπ + π)/3)
où k = 0, 1, 2
2. Calculons les solutions :
Pour k = 0 : z_0 = cos(π/3) + i sin(π/3) = 1/2 + (√3/2)i
Pour k = 1 : z_1 = cos(π) + i sin(π) = -1
Pour k = 2 : z_2 = cos(5π/3) + i sin(5π/3) = 1/2 - (√3/2)i
Ces solutions correspondent aux sommets d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité.