Exercices de Probabilités Conditionnelles - Page 1

Solution :

Dans cet exercice, nous utilisons la définition de la probabilité conditionnelle.

Soit R l'événement "la boule est rouge" et C l'événement "la boule est colorée".

Nous cherchons P(R|C), la probabilité que la boule soit rouge sachant qu'elle est colorée.

P(R|C) = P(R ∩ C) / P(C)

P(R ∩ C) = 5/8 (car il y a 5 boules rouges sur un total de 8 boules)

P(C) = 1 (car toutes les boules sont colorées)

Donc, P(R|C) = (5/8) / 1 = 5/8 = 0.625

La probabilité que la boule soit rouge sachant qu'elle est colorée est de 5/8 ou 0.625 ou 62.5%.

Solution :

Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser la probabilité de l'événement contraire.

Soit A l'événement "obtenir au moins un 6".

Le contraire de A est "n'obtenir aucun 6".

P(pas de 6 sur le premier dé) = 1 - 1/4 = 3/4

P(pas de 6 sur le second dé) = 1 - 1/3 = 2/3

P(aucun 6) = 3/4 * 2/3 = 1/2

Donc, P(au moins un 6) = 1 - P(aucun 6) = 1 - 1/2 = 1/2

La probabilité d'obtenir au moins un 6 est de 1/2 ou 0.5 ou 50%.

Solution :

Cet exercice utilise le théorème de Bayes. Définissons les événements :

M : la personne est malade

T+ : le test est positif

Nous cherchons P(M|T+)

Théorème de Bayes : P(M|T+) = P(T+|M) * P(M) / P(T+)

Données :

P(T+|M) = 0.95 (sensibilité)

P(T-|non M) = 0.90 (spécificité)

P(M) = 0.02 (prévalence)

P(T+) = P(T+|M) * P(M) + P(T+|non M) * P(non M)

P(T+) = 0.95 * 0.02 + (1 - 0.90) * (1 - 0.02) = 0.019 + 0.098 = 0.117

Maintenant, appliquons le théorème de Bayes :

P(M|T+) = (0.95 * 0.02) / 0.117 ≈ 0.162

La probabilité qu'une personne soit réellement malade si son test est positif est d'environ 0.162 ou 16.2%.