Série d'exercices sur les équations différentielles
Ces exercices vous permettront de pratiquer la résolution d'équations différentielles du premier ordre. N'hésitez pas à utiliser le cours comme référence si nécessaire.
Exercice 1
Résoudre l'équation différentielle suivante :
$\frac{dy}{dx} + 3y = e^x$
Solution :
1. Identifions $a(x) = 3$ et $b(x) = e^x$
2. Calculons $A(x) = \int 3 dx = 3x$
3. Calculons $\int b(x)e^{A(x)}dx = \int e^x e^{3x}dx = \int e^{4x}dx = \frac{1}{4}e^{4x} + C$
4. La solution générale est :
$y(x) = e^{-3x}(\frac{1}{4}e^{4x} + C) = \frac{1}{4}e^x + Ce^{-3x}$
Exercice 2
Résoudre l'équation différentielle suivante :
$\frac{dy}{dx} - 2y = x$
Solution :
1. Identifions $a(x) = -2$ et $b(x) = x$
2. Calculons $A(x) = \int -2 dx = -2x$
3. Calculons $\int b(x)e^{A(x)}dx = \int xe^{-2x}dx = -\frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C$
4. La solution générale est :
$y(x) = e^{2x}(-\frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C) = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{4} + Ce^{2x}$
Exercice 3
Résoudre l'équation différentielle suivante avec la condition initiale donnée :
$\frac{dy}{dx} + y = \sin x$, avec $y(0) = 1$
Solution :
1. Identifions $a(x) = 1$ et $b(x) = \sin x$
2. Calculons $A(x) = \int 1 dx = x$
3. Calculons $\int b(x)e^{A(x)}dx = \int \sin x e^x dx = \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$
4. La solution générale est :
$y(x) = e^{-x}(\frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C) = \frac{1}{2}(\sin x - \cos x) + Ce^{-x}$
5. Utilisons la condition initiale $y(0) = 1$ pour trouver $C$ :
$1 = \frac{1}{2}(0 - 1) + C \implies C = \frac{3}{2}$
6. La solution particulière est donc :
$y(x) = \frac{1}{2}(\sin x - \cos x) + \frac{3}{2}e^{-x}$
Exercices supplémentaires
Essayez de résoudre ces équations différentielles par vous-même :
- $\frac{dy}{dx} + 4y = 8x^2$
- $\frac{dy}{dx} - y = e^{2x}$
- $\frac{dy}{dx} + 2xy = x$, avec $y(0) = 2$
N'hésitez pas à vérifier vos solutions en les substituant dans les équations originales.
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