Série d'exercices pour maîtriser la géométrie vectorielle
Exercice 1: Addition de vecteurs
Soient les vecteurs \(\vec{a} = (2, 3)\) et \(\vec{b} = (-1, 4)\). Calculez \(\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}\).
Solution :
\(\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (2, 3) + (-1, 4) = (2 + (-1), 3 + 4) = (1, 7)\)
Donc, \(\vec{c} = (1, 7)\)
Exercice 2: Produit scalaire
Calculez le produit scalaire des vecteurs \(\vec{u} = (3, -2, 1)\) et \(\vec{v} = (0, 2, -3)\).
Solution :
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = (3 \times 0) + (-2 \times 2) + (1 \times -3)\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 - 4 - 3 = -7\)
Exercice 3: Norme d'un vecteur
Calculez la norme du vecteur \(\vec{w} = (1, -2, 2)\).
Solution :
La norme d'un vecteur \(\vec{w} = (x, y, z)\) est donnée par \(|\vec{w}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)
\(|\vec{w}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}\)
\(|\vec{w}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3\)
Exercice 4: Produit vectoriel
Calculez le produit vectoriel des vecteurs \(\vec{p} = (1, 0, 2)\) et \(\vec{q} = (0, 1, -1)\).
Solution :
Le produit vectoriel \(\vec{p} \times \vec{q}\) est donné par :
\(\vec{p} \times \vec{q} = (p_y q_z - p_z q_y, p_z q_x - p_x q_z, p_x q_y - p_y q_x)\)
\(\vec{p} \times \vec{q} = ((0 \times -1) - (2 \times 1), (2 \times 0) - (1 \times -1), (1 \times 1) - (0 \times 0))\)
\(\vec{p} \times \vec{q} = (-2, 1, 1)\)
Exercice 5: Vecteurs perpendiculaires
Déterminez si les vecteurs \(\vec{a} = (2, -1, 3)\) et \(\vec{b} = (1, 2, 1)\) sont perpendiculaires.
Solution :
Deux vecteurs sont perpendiculaires si leur produit scalaire est égal à zéro.
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = (2 \times 1) + (-1 \times 2) + (3 \times 1)\)
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 - 2 + 3 = 3\)
Comme le produit scalaire n'est pas égal à zéro, les vecteurs ne sont pas perpendiculaires.
Visualisation des vecteurs
Utilisez cette visualisation interactive pour mieux comprendre les concepts de géométrie vectorielle :
Conclusion
Ces exercices vous permettent de pratiquer les concepts fondamentaux de la géométrie vectorielle. N'hésitez pas à les refaire plusieurs fois pour bien maîtriser ces notions essentielles.
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