Instructions
Pour chacune des fonctions suivantes, calculez la limite demandée. Utilisez les propriétés des limites et les limites usuelles pour simplifier vos calculs.
Exercice 1
Calculez la limite suivante :
\[\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 + 5}\]
Indice : Divisez le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré.
Solution :
\[\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 + 5} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{5}{x^2}} = 3\]
Explication : En divisant le numérateur et le dénominateur par \(x^2\), on obtient une forme où les termes en \(\frac{1}{x}\) et \(\frac{1}{x^2}\) tendent vers 0 quand x tend vers l'infini.
Exercice 2
Calculez la limite suivante :
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\]
Indice : Utilisez la limite remarquable de \(\frac{\sin(x)}{x}\) quand x tend vers 0.
Solution :
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3\]
Explication : On utilise le changement de variable u = 3x, puis on applique la limite remarquable \(\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1\).
Exercice 3
Calculez la limite suivante :
\[\lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{2}{x})^x\]
Indice : Cette limite est liée à la définition du nombre e.
Solution :
\[\lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{2}{x})^x = e^2\]
Explication : On reconnaît la forme \((1 + \frac{1}{n})^n\) qui tend vers e quand n tend vers l'infini. Ici, on a \((1 + \frac{2}{x})^x = ((1 + \frac{2}{x})^{\frac{x}{2}})^2\), qui tend vers \(e^2\).