Objectif de l'exercice
Dans cet exercice, nous allons étudier les limites de fonctions et déterminer leurs asymptotes. Vous devrez analyser le comportement de la fonction aux limites et identifier les asymptotes verticales, horizontales ou obliques.
Exercice 1
Soit la fonction \(f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}\) définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\).
- Déterminez la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(1\).
- Calculez la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
- Déterminez l'équation de l'asymptote oblique si elle existe.
Solution de l'exercice 1
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Pour calculer la limite quand \(x\) tend vers 1, nous devons factoriser le numérateur :
\(f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1} = \frac{(2x - 1)(x - 1)}{x - 1} = 2x - 1\) pour \(x \neq 1\)
Donc, \(\lim_{x \to 1} f(x) = 1\)
La fonction admet une asymptote verticale d'équation \(x = 1\).
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Pour la limite à l'infini, divisons le numérateur et le dénominateur par la plus haute puissance de \(x\) au dénominateur :
\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x - 3 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = +\infty\)
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Pour trouver l'asymptote oblique, écrivons \(f(x) = ax + b + \frac{r(x)}{x - 1}\) où \(\lim_{x \to \infty} r(x) = 0\)
\(f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1} = 2x + 1 + \frac{2}{x - 1}\)
L'équation de l'asymptote oblique est donc \(y = 2x + 1\)
Exercice 2
Considérons la fonction \(g(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 2}\) définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{-2, 1\}\).
- Déterminez les limites de \(g(x)\) quand \(x\) tend vers \(-2\) et \(1\).
- Calculez la limite de \(g(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) et \(-\infty\).
- Identifiez toutes les asymptotes de la fonction \(g\).
Solution de l'exercice 2
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Limites aux points \(-2\) et \(1\) :
\(\lim_{x \to -2} g(x) = \frac{(-2)^2 - 4}{(-2)^2 + (-2) - 2} = \frac{0}{-2} = 0\)
\(\lim_{x \to 1} g(x) = \frac{1^2 - 4}{1^2 + 1 - 2} = \frac{-3}{0} = -\infty\)
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Limites à l'infini :
\(\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 - \frac{4}{x^2}}{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}} = 1\)
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Asymptotes :
- Asymptote verticale : \(x = 1\) (car \(\lim_{x \to 1} g(x) = -\infty\))
- Asymptote horizontale : \(y = 1\) (car \(\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = 1\))
- Pas d'asymptote oblique autre que l'asymptote horizontale
Conseil
Pour étudier les limites et les asymptotes d'une fonction rationnelle :
- Identifiez les points où le dénominateur s'annule pour trouver les asymptotes verticales.
- Comparez les degrés du numérateur et du dénominateur pour le comportement à l'infini.
- Si les degrés sont égaux, divisez pour trouver l'asymptote horizontale.
- Si le degré du numérateur est supérieur d'une unité à celui du dénominateur, cherchez une asymptote oblique.