Exercices sur les Lois Continues

Spécialité Mathématiques - Lycée

Exercice 1: Loi uniforme continue

Facile

Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l'intervalle [0, 4].

  1. Déterminez la fonction de densité f(x) de X.
  2. Calculez P(1 ≤ X ≤ 3).
  3. Trouvez l'espérance E(X) et la variance V(X) de X.

Solution :

  1. La fonction de densité d'une loi uniforme sur [a, b] est donnée par :

    \[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{si } x \in [a,b] \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}\]

    Ici, a = 0 et b = 4, donc :

    \[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{4} & \text{si } x \in [0,4] \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}\]

  2. Pour calculer P(1 ≤ X ≤ 3), on intègre la fonction de densité sur l'intervalle [1, 3] :

    \[P(1 \leq X \leq 3) = \int_1^3 f(x) dx = \int_1^3 \frac{1}{4} dx = \frac{1}{4}[x]_1^3 = \frac{1}{4}(3-1) = \frac{1}{2}\]

  3. Pour une loi uniforme sur [a, b], on a :

    \[E(X) = \frac{a+b}{2} \quad \text{et} \quad V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}\]

    Donc :

    \[E(X) = \frac{0+4}{2} = 2 \quad \text{et} \quad V(X) = \frac{(4-0)^2}{12} = \frac{4}{3}\]

Exercice 2: Loi exponentielle

Moyen

La durée de vie (en années) d'un composant électronique suit une loi exponentielle de paramètre λ = 0,2.

  1. Donnez l'expression de la fonction de densité f(t) de cette loi.
  2. Calculez la probabilité que le composant fonctionne encore après 5 ans.
  3. Sachant que le composant a déjà fonctionné pendant 3 ans, quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore 2 ans de plus ?

Solution :

  1. La fonction de densité d'une loi exponentielle de paramètre λ est donnée par :

    \[f(t) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda t} & \text{si } t \geq 0 \\ 0 & \text{si } t < 0 \end{cases}\]

    Ici, λ = 0,2, donc :

    \[f(t) = \begin{cases} 0,2 e^{-0,2t} & \text{si } t \geq 0 \\ 0 & \text{si } t < 0 \end{cases}\]

  2. Pour une loi exponentielle, P(X > t) = e^(-λt). Donc :

    \[P(X > 5) = e^{-0,2 \times 5} = e^{-1} \approx 0,3679\]

    La probabilité que le composant fonctionne encore après 5 ans est d'environ 36,79%.

  3. La loi exponentielle a la propriété de "perte de mémoire". Cela signifie que :

    \[P(X > t+s | X > t) = P(X > s)\]

    Donc, la probabilité qu'il fonctionne encore 2 ans de plus sachant qu'il a déjà fonctionné 3 ans est la même que la probabilité qu'il fonctionne 2 ans depuis le début :

    \[P(X > 2) = e^{-0,2 \times 2} = e^{-0,4} \approx 0,6703\]

    La probabilité est d'environ 67,03%.

Exercice 3: Loi normale

Difficile

Le poids (en grammes) des paquets de café produits par une machine suit une loi normale de moyenne μ = 250g et d'écart-type σ = 5g.

  1. Quelle est la probabilité qu'un paquet pèse entre 245g et 255g ?
  2. Quel est le poids minimal que doivent avoir 99% des paquets ?
  3. Le fabricant décide de rejeter les paquets dont le poids s'écarte de plus de 12g de la moyenne. Quel pourcentage de la production sera rejeté ?

Solution :

  1. Pour une loi normale, on utilise la variable centrée réduite Z = (X - μ) / σ. On cherche P(245 ≤ X ≤ 255) :

    \[P(245 \leq X \leq 255) = P(\frac{245-250}{5} \leq Z \leq \frac{255-250}{5}) = P(-1 \leq Z \leq 1)\]

    En utilisant la table de la loi normale centrée réduite :

    \[P(-1 \leq Z \leq 1) = 2 \times P(0 \leq Z \leq 1) \approx 2 \times 0,3413 = 0,6826\]

    La probabilité est d'environ 68,26%.

  2. Pour trouver le poids minimal x tel que P(X ≥ x) = 0,99, on cherche la valeur z telle que P(Z ≥ z) = 0,01 (car 0,99 = 1 - 0,01).

    Dans la table de la loi normale centrée réduite, on trouve z ≈ -2,33.

    On a donc :

    \[\frac{x - 250}{5} = -2,33 \quad \text{d'où} \quad x = 250 - (2,33 \times 5) = 238,35\]

    Le poids minimal que doivent avoir 99% des paquets est d'environ 238,35g.

  3. On cherche P(|X - 250| > 12) = P(X < 238) + P(X > 262)

    En utilisant la variable centrée réduite :

    \[P(X < 238) + P(X > 262) = P(Z < -2,4) + P(Z > 2,4)\]

    D'après la table de la loi normale centrée réduite :

    \[P(Z < -2,4) + P(Z > 2,4) \approx 2 \times 0,0082 = 0,0164\]

    Environ 1,64% de la production sera rejeté.