Équations dans C (Nombres Complexes)

Exercices de Spécialité Mathématiques - Lycée

Bienvenue dans cette section d'exercices sur les équations impliquant des nombres complexes. Nous allons explorer différents types d'équations et apprendre à les résoudre dans l'ensemble des nombres complexes.

Exercice 1 : Équation du premier degré

Résolvez l'équation suivante dans C :

(2+i)z + (1-3i) = 5+2i

Étapes de résolution :

  1. Isoler z en soustrayant (1-3i) des deux côtés : (2+i)z = (5+2i) - (1-3i)
  2. Simplifier le membre de droite : (2+i)z = 4+5i
  3. Diviser les deux membres par (2+i) : z = (4+5i) / (2+i)
  4. Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : z = ((4+5i)(2-i)) / ((2+i)(2-i))
  5. Simplifier : z = (8+10i-4i-5i²) / (4+1) = (8+6i+5) / 5 = (13+6i) / 5

Solution finale : z = (13/5) + (6/5)i

Exercice 2 : Équation du second degré

Résolvez l'équation suivante dans C :

z² + 2z + 5 = 0

Étapes de résolution :

  1. Identifiez a=1, b=2, c=5
  2. Calculez le discriminant : Δ = b² - 4ac = 2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16
  3. Comme Δ < 0, les solutions sont complexes conjuguées
  4. Utilisez la formule : z = (-b ± i√(-Δ)) / (2a)
  5. Simplifiez : z = (-2 ± i√16) / 2 = -1 ± 2i

Solutions : z₁ = -1 + 2i et z₂ = -1 - 2i

Exercice 3 : Équation avec module

Résolvez l'équation suivante dans C :

|z - 1 - i| = 2

Interprétation géométrique :

Cette équation représente l'ensemble des points z du plan complexe qui sont à une distance de 2 unités du point 1+i.

C'est donc l'équation d'un cercle de centre 1+i et de rayon 2.

Pour exprimer z de manière paramétrique :

z = (1+i) + 2(cos(θ) + i·sin(θ)), où θ ∈ [0, 2π]

ou sous forme algébrique :

z = (1 + 2cos(θ)) + i(1 + 2sin(θ)), où θ ∈ [0, 2π]

Astuces pour résoudre les équations complexes :