Calculez le produit scalaire des vecteurs suivants :
\(\vec{u} = (2, -1, 3)\) et \(\vec{v} = (1, 4, -2)\)
Solution :
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(1) + (-1)(4) + (3)(-2)\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 - 4 - 6 = -8\)
Déterminez l'angle entre les vecteurs \(\vec{a} = (1, 1, 1)\) et \(\vec{b} = (1, 0, -1)\).
Solution :
1) Calculons d'abord le produit scalaire : \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 + 0 - 1 = 0\)
2) Calculons les normes : \(||\vec{a}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}\) et \(||\vec{b}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\)
3) Utilisons la formule : \(\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}|| ||\vec{b}||} = \frac{0}{\sqrt{3}\sqrt{2}} = 0\)
4) Donc \(\theta = \arccos(0) = 90°\)
Les vecteurs sont perpendiculaires.
Calculez la projection orthogonale du vecteur \(\vec{u} = (3, 4)\) sur le vecteur \(\vec{v} = (1, 1)\).
Solution :
1) La formule de projection est : \(\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{v}||^2} \vec{v}\)
2) Calculons \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3(1) + 4(1) = 7\)
3) Calculons \(||\vec{v}||^2 = 1^2 + 1^2 = 2\)
4) Donc \(\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \frac{7}{2} \vec{v} = (\frac{7}{2}, \frac{7}{2})\)
Déterminez la valeur de k pour que les vecteurs \(\vec{a} = (k, 2, 1)\) et \(\vec{b} = (3, -1, 2)\) soient orthogonaux.
Solution :
1) Pour que les vecteurs soient orthogonaux, leur produit scalaire doit être nul :
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)
2) Développons : \(3k + (-1)(2) + (1)(2) = 0\)
3) Simplifions : \(3k - 2 + 2 = 0\)
4) Résolvons : \(3k = 0\) donc \(k = 0\)
Utilisez le canvas ci-dessous pour visualiser et manipuler des vecteurs. Cliquez pour placer des points et créer des vecteurs, puis calculez leur produit scalaire.