Résolvez l'équation suivante :
\[ \ln(x) = 3 \]
Solution :
\[ \ln(x) = 3 \]
\[ e^{\ln(x)} = e^3 \]
\[ x = e^3 \approx 20.0855 \]
Calculez la dérivée de la fonction suivante :
\[ f(x) = x \ln(x) \]
Solution :
Utilisons la règle du produit :
\[ f'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} \]
\[ f'(x) = \ln(x) + 1 \]
Calculez la limite suivante :
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} \]
Solution :
Utilisons la règle de L'Hôpital :
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \]
Simplifiez l'expression suivante :
\[ \ln(a) + \ln(b) - \ln(c) \]
Solution :
Utilisons les propriétés des logarithmes :
\[ \ln(a) + \ln(b) - \ln(c) = \ln(ab) - \ln(c) = \ln(\frac{ab}{c}) \]
Trouvez la primitive de la fonction suivante :
\[ f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \]
Solution :
Utilisons l'intégration par parties :
Soit u = ln(x) et dv = 1/x dx
Alors du = 1/x dx et v = ln(x)
\[ \int \frac{\ln(x)}{x} dx = \ln(x) \cdot \ln(x) - \int \frac{1}{x} \cdot \ln(x) dx \]
\[ = (\ln(x))^2 - \int \frac{\ln(x)}{x} dx \]
\[ 2 \int \frac{\ln(x)}{x} dx = (\ln(x))^2 \]
\[ \int \frac{\ln(x)}{x} dx = \frac{1}{2}(\ln(x))^2 + C \]