Soit un plan P d'équation 2x - y + 3z - 4 = 0 et un point A de coordonnées (1, 2, -1).
Calculez la distance du point A au plan P.
Rappel : La distance d d'un point A(x₀, y₀, z₀) à un plan d'équation ax + by + cz + d = 0 est donnée par la formule :
d = \frac{|ax₀ + by₀ + cz₀ + d|}{\sqrt{a² + b² + c²}}
Pour calculer la distance, nous allons utiliser la formule donnée :
1. Identifions les coefficients du plan : a = 2, b = -1, c = 3, d = -4
2. Les coordonnées du point A sont : x₀ = 1, y₀ = 2, z₀ = -1
3. Appliquons la formule :
d = \frac{|2(1) + (-1)(2) + 3(-1) + (-4)|}{\sqrt{2² + (-1)² + 3²}}
d = \frac{|2 - 2 - 3 - 4|}{\sqrt{4 + 1 + 9}}
d = \frac{|-7|}{\sqrt{14}}
d = \frac{7}{\sqrt{14}} ≈ 1.87
La distance du point A au plan P est donc \frac{7}{\sqrt{14}} unités, soit environ 1.87 unités.