Soit un plan P d'équation 2x - y + 3z = 4 et un point A(1, 2, 3). Calculez les coordonnées de la projection orthogonale du point A sur le plan P.
Rappel : La formule de projection orthogonale d'un point M(x, y, z) sur un plan ax + by + cz + d = 0 est :
M' = M - \(\frac{ax + by + cz + d}{a^2 + b^2 + c^2}\)(a, b, c)
1. Identifiez les coefficients a, b, c, et d du plan.
2. Utilisez la formule de projection orthogonale en remplaçant les valeurs.
3. Calculez chaque composante du vecteur de projection.
1. Pour le plan 2x - y + 3z = 4, nous avons a = 2, b = -1, c = 3, et d = 4.
2. Les coordonnées du point A sont (1, 2, 3).
3. Appliquons la formule de projection :
M' = (1, 2, 3) - \(\frac{2(1) + (-1)(2) + 3(3) + 4}{2^2 + (-1)^2 + 3^2}\)(2, -1, 3)
M' = (1, 2, 3) - \(\frac{13}{14}\)(2, -1, 3)
4. Calculons chaque composante :
x' = 1 - \(\frac{13}{7}\) = -\(\frac{6}{7}\)
y' = 2 + \(\frac{13}{14}\) = \(\frac{41}{14}\)
z' = 3 - \(\frac{39}{14}\) = \(\frac{3}{14}\)
La projection orthogonale du point A sur le plan P est donc le point M'(-\(\frac{6}{7}\), \(\frac{41}{14}\), \(\frac{3}{14}\)).