Calculez la norme du vecteur \(\vec{u} = (3, -4, 5)\).
La norme d'un vecteur \(\vec{u} = (x, y, z)\) est donnée par la formule :
\(||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)
Pour \(\vec{u} = (3, -4, 5)\) :
\(||\vec{u}|| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
Donc, la norme de \(\vec{u}\) est \(5\sqrt{2}\).
Calculez le produit scalaire des vecteurs \(\vec{a} = (2, -1, 3)\) et \(\vec{b} = (1, 4, -2)\).
Le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)\) et \(\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)\) est donné par la formule :
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\)
Pour \(\vec{a} = (2, -1, 3)\) et \(\vec{b} = (1, 4, -2)\) :
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = (2 \times 1) + (-1 \times 4) + (3 \times -2)\)
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 - 4 - 6 = -8\)
Donc, le produit scalaire de \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) est -8.
Calculez l'angle entre les vecteurs \(\vec{p} = (1, 1, 1)\) et \(\vec{q} = (0, 1, 2)\).
L'angle \(\theta\) entre deux vecteurs \(\vec{p}\) et \(\vec{q}\) est donné par la formule :
\(\cos \theta = \frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{||\vec{p}|| \times ||\vec{q}||}\)
Calculons d'abord le produit scalaire :
\(\vec{p} \cdot \vec{q} = (1 \times 0) + (1 \times 1) + (1 \times 2) = 3\)
Ensuite, calculons les normes :
\(||\vec{p}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}\)
\(||\vec{q}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\)
Maintenant, appliquons la formule :
\(\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{3} \times \sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{15}}\)
Pour obtenir l'angle, prenons l'arc cosinus :
\(\theta = \arccos(\frac{3}{\sqrt{15}}) \approx 0.5461\) radians ou environ 31.29 degrés.