Calculez les intégrales suivantes :
a) ∫01 (2x + 3) dx = [x2 + 3x]01 = (1 + 3) - (0 + 0) = 4
b) ∫-12 (x2 - 1) dx = [x3/3 - x]-12 = (8/3 - 2) - (-1/3 + 1) = 2
Calculez l'intégrale suivante en utilisant la méthode d'intégration par parties :
Posons u = x et dv = exdx. Alors du = dx et v = ex.
∫ x · ex dx = x · ex - ∫ ex dx = x · ex - ex + C
Calculez l'aire de la région délimitée par les courbes y = x2 et y = 2x sur l'intervalle [0, 2].
L'aire est donnée par l'intégrale : ∫02 (2x - x2) dx
= [2x2/2 - x3/3]02 = (4 - 8/3) - (0 - 0) = 4/3
L'aire est donc de 4/3 unités carrées.
Calculez l'intégrale suivante en utilisant le changement de variable u = x2 :
Avec u = x2, du = 2x dx, donc x dx = du/2
∫01 x · sin(x2) dx = 1/2 ∫01 sin(u) du
= -1/2 [cos(u)]01 = -1/2 (cos(1) - cos(0)) = (1 - cos(1))/2
Étudiez la convergence de l'intégrale impropre suivante :
∫1+∞ 1/x2 dx = limb→+∞ ∫1b 1/x2 dx
= limb→+∞ [-1/x]1b = limb→+∞ (-1/b + 1) = 1
L'intégrale converge et sa valeur est 1.
Un objet se déplace selon la fonction de vitesse v(t) = 3t2 - 2t + 1 (en m/s). Calculez la distance parcourue entre t = 0 et t = 2 secondes.
La distance est donnée par l'intégrale de la vitesse :
d = ∫02 (3t2 - 2t + 1) dt
= [t3 - t2 + t]02 = (8 - 4 + 2) - (0 - 0 + 0) = 6
L'objet a parcouru 6 mètres.