Exercices sur les Limites de Fonctions

Accueil > Exercices > Lycée > Terminale > Limites de Fonctions

Cette page contient une série d'exercices sur les limites de fonctions, adaptés au niveau Terminale. Chaque exercice est accompagné d'une solution détaillée que vous pouvez afficher en cliquant sur le bouton correspondant.

Exercice 1 : Limite d'une fonction rationnelle

Calculez la limite suivante :

\[\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 4x - 5}\]

Solution :

Pour calculer cette limite, on divise le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré, ici \(x^2\) :

\[\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 4x - 5} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{4}{x} - \frac{5}{x^2}}\]

Lorsque x tend vers l'infini, les termes en \(\frac{1}{x}\) et \(\frac{1}{x^2}\) tendent vers 0, donc :

\[\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 4x - 5} = \frac{3}{1} = 3\]

Exercice 2 : Limite avec indétermination

Calculez la limite suivante :

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\]

Solution :

Cette limite est une limite remarquable à connaître. On a :

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\]

Cette limite est importante car elle permet de démontrer que la fonction sinus est dérivable en 0 et que sa dérivée y vaut 1.

Exercice 3 : Limite à l'infini d'une fonction composée

Calculez la limite suivante :

\[\lim_{x \to +\infty} \ln(x^2 + 1) - 2\ln(x)\]

Solution :

On peut réécrire l'expression en utilisant les propriétés du logarithme :

\[\lim_{x \to +\infty} \ln(x^2 + 1) - 2\ln(x) = \lim_{x \to +\infty} \ln(\frac{x^2 + 1}{x^2})\]

Maintenant, simplifions l'expression sous le logarithme :

\[\lim_{x \to +\infty} \ln(\frac{x^2 + 1}{x^2}) = \lim_{x \to +\infty} \ln(1 + \frac{1}{x^2})\]

Lorsque x tend vers l'infini, \(\frac{1}{x^2}\) tend vers 0, donc :

\[\lim_{x \to +\infty} \ln(1 + \frac{1}{x^2}) = \ln(1) = 0\]