4ème : Fonctions

1. Définition d'une fonction

Une fonction est une relation entre deux ensembles de nombres, où chaque élément du premier ensemble (appelé domaine) est associé à un unique élément du second ensemble (appelé codomaine).

Exemple :

Soit f la fonction qui à chaque nombre associe son double.

On peut l'écrire : f(x) = 2x

Si x = 3, alors f(3) = 2 × 3 = 6

Dans cet exemple :

  • x est la variable d'entrée (ou antécédent)
  • f(x) est la valeur de sortie (ou image)
  • La règle de la fonction est de multiplier x par 2

2. Représentation des fonctions

Il existe plusieurs façons de représenter une fonction :

  1. Par une formule : f(x) = 2x + 1
  2. Par un tableau de valeurs : On donne quelques couples (x, f(x))
  3. Par un graphique : On représente les points (x, f(x)) dans un repère

Exploration interactive

Modifiez les paramètres a et b de la fonction f(x) = ax + b :

x f(x)
-2
-1
0
1
2

3. Fonctions linéaires

Une fonction linéaire est une fonction de la forme f(x) = ax, où a est un nombre réel appelé le coefficient directeur.

Propriétés des fonctions linéaires :

  • Leur représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.
  • Elles respectent la propriété de proportionnalité : f(kx) = k × f(x) pour tout nombre k.

Exemple :

Soit f(x) = 3x une fonction linéaire.

Si x = 2, alors f(2) = 3 × 2 = 6

Si x = 4, alors f(4) = 3 × 4 = 12

On observe que f(4) = 2 × f(2), ce qui illustre la propriété de proportionnalité.

4. Applications des fonctions

Les fonctions sont utilisées dans de nombreux domaines pour modéliser des relations entre différentes quantités :

  • En physique : relation entre la distance parcourue et le temps
  • En économie : relation entre le prix et la demande d'un produit
  • En biologie : croissance d'une population en fonction du temps

Exemple concret :

Un taxi facture 2€ de prise en charge et 0,5€ par kilomètre parcouru.

On peut modéliser le coût du trajet en fonction de la distance parcourue par la fonction :

f(x) = 0,5x + 2

où x est la distance en kilomètres et f(x) le coût en euros.