Définition de la fonction dérivée
La fonction dérivée d'une fonction f, notée f', est la fonction qui, à tout point x de l'ensemble de dérivabilité de f, associe le nombre dérivé de f en x.
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]
Propriétés et règles de dérivation
Voici les principales règles de dérivation pour les fonctions usuelles :
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \(f(x) = k\) (constante) | \(f'(x) = 0\) |
| \(f(x) = x^n\) | \(f'(x) = nx^{n-1}\) |
| \(f(x) = \sqrt{x}\) | \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) |
| \(f(x) = e^x\) | \(f'(x) = e^x\) |
| \(f(x) = \ln(x)\) | \(f'(x) = \frac{1}{x}\) |
Règles de calcul
- Dérivée d'une somme : \((u + v)' = u' + v'\)
- Dérivée d'un produit : \((uv)' = u'v + uv'\)
- Dérivée d'un quotient : \((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)
Exemple
Calculons la dérivée de \(f(x) = x^2 + 3x + 1\)
En appliquant les règles de dérivation :
- \((x^2)' = 2x\)
- \((3x)' = 3\)
- \(1' = 0\)
Donc, \(f'(x) = 2x + 3\)
Note importante
La fonction dérivée est un outil puissant pour étudier les variations d'une fonction, déterminer ses extremums et ses points d'inflexion. Elle est fondamentale en analyse et a de nombreuses applications en physique, en économie et dans d'autres domaines scientifiques.
Applications de la fonction dérivée
- Étude des variations d'une fonction
- Recherche d'extremums (minimums et maximums)
- Calcul de tangentes à une courbe
- Optimisation dans divers domaines (économie, physique, etc.)