Les équations et inéquations sont des outils mathématiques puissants qui permettent de modéliser et résoudre de nombreux problèmes concrets. Dans cette leçon, nous allons explorer diverses applications pratiques de ces concepts en classe de Première.
Les équations et inéquations sont souvent utilisées pour traduire des situations concrètes en langage mathématique.
Une entreprise fabrique des téléphones (x) et des tablettes (y). Le temps de production est limité à 200 heures par semaine. Un téléphone nécessite 2 heures de production, une tablette 3 heures. On peut modéliser cette contrainte par l'inéquation :
Les équations et inéquations sont essentielles dans les problèmes d'optimisation, où l'on cherche à maximiser ou minimiser une quantité sous certaines contraintes.
Reprenant l'exemple précédent, si le profit par téléphone est de 100€ et celui par tablette de 150€, on cherche à maximiser la fonction de profit :
sous la contrainte : 2x + 3y ≤ 200 et x ≥ 0, y ≥ 0
En physique, de nombreuses lois peuvent être exprimées sous forme d'équations ou d'inéquations.
La position d'un objet en chute libre peut être modélisée par l'équation :
où y est la position (en mètres), t le temps (en secondes), v₀ la vitesse initiale et y₀ la position initiale.
Les équations et inéquations sont largement utilisées en finance pour modéliser des situations d'investissement, de prêt, etc.
Le montant final après t années d'un investissement initial P à un taux d'intérêt annuel r est donné par :
On peut utiliser cette équation pour déterminer le temps nécessaire pour doubler un investissement.
Les équations et inéquations peuvent aider à résoudre des problèmes impliquant des formes géométriques.
Si le périmètre d'un rectangle est fixé à 20 unités, on peut exprimer son aire A en fonction de sa largeur x :
Trouver la largeur qui maximise l'aire revient à résoudre une équation du second degré.
Les applications des équations et inéquations sont vastes et variées. Elles constituent un outil fondamental pour la modélisation mathématique de nombreuses situations réelles, de l'économie à la physique en passant par la géométrie et la finance. Maîtriser ces concepts vous permettra d'aborder de manière plus efficace de nombreux problèmes complexes dans vos futures études et dans votre vie professionnelle.