Qu'est-ce que le domaine de définition d'une fonction ?
Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs que peut prendre la variable \(x\) pour que la fonction soit définie. En d'autres termes, c'est l'ensemble des valeurs pour lesquelles on peut calculer \(f(x)\).
Comment déterminer le domaine de définition ?
Pour déterminer le domaine de définition d'une fonction, il faut examiner l'expression de la fonction et identifier les valeurs de \(x\) qui pourraient poser problème. Voici quelques cas courants :
- Fonctions polynomiales : Le domaine est généralement \(\mathbb{R}\) (l'ensemble des nombres réels).
- Fonctions rationnelles : Le dénominateur ne doit pas être égal à zéro.
- Racines carrées : L'expression sous la racine doit être positive ou nulle.
- Logarithmes : L'argument du logarithme doit être strictement positif.
Exemples
Exemple 1 : Fonction polynomiale
Soit \(f(x) = x^2 + 3x + 2\)
Domaine de définition : \(D_f = \mathbb{R}\)
Explication : Cette fonction est définie pour toutes les valeurs réelles de \(x\).
Exemple 2 : Fonction rationnelle
Soit \(f(x) = \frac{x+1}{x-2}\)
Domaine de définition : \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\)
Explication : La fonction est définie pour toutes les valeurs de \(x\) sauf 2, car le dénominateur ne peut pas être égal à zéro.
Exemple 3 : Fonction avec racine carrée
Soit \(f(x) = \sqrt{x+3}\)
Domaine de définition : \(D_f = [-3, +\infty[\)
Explication : L'expression sous la racine doit être positive ou nulle, donc \(x+3 \geq 0\), ce qui donne \(x \geq -3\).
Importance du domaine de définition
Déterminer le domaine de définition est une étape cruciale dans l'étude d'une fonction car :
- Il permet de connaître les valeurs pour lesquelles la fonction a un sens.
- Il est nécessaire pour tracer correctement le graphe de la fonction.
- Il peut donner des indications sur le comportement de la fonction (par exemple, la présence d'asymptotes verticales).
Exercices proposés
Pour vous entraîner, déterminez le domaine de définition des fonctions suivantes :
- \(f(x) = \frac{1}{x^2-4}\)
- \(g(x) = \ln(x-1)\)
- \(h(x) = \sqrt{9-x^2}\)