MathEsprit - Exercices sur le Domaine de Définition (1ère)

Déterminez le domaine de définition de la fonction suivante :

\[ f(x) = \frac{x+2}{x-3} \]

Solution :

Le domaine de définition est l'ensemble des réels sauf la valeur qui annule le dénominateur.

Ici, le dénominateur s'annule pour \(x = 3\).

Donc, le domaine de définition est : \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}\)

Trouvez le domaine de définition de la fonction :

\[ g(x) = \sqrt{x+5} \]

Solution :

Pour une racine carrée, l'expression sous la racine doit être positive ou nulle.

\(x + 5 \geq 0\)

\(x \geq -5\)

Donc, le domaine de définition est : \(D_g = [-5, +\infty[\)

Déterminez le domaine de définition de la fonction :

\[ h(x) = \ln(x^2 - 4) \]

Solution :

Pour le logarithme, l'argument doit être strictement positif.

\(x^2 - 4 > 0\)

\((x-2)(x+2) > 0\)

Cela est vrai pour \(x < -2\) ou \(x > 2\)

Donc, le domaine de définition est : \(D_h = ]-\infty, -2[ \cup ]2, +\infty[\)

Trouvez le domaine de définition de la fonction :

\[ k(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x+2} \]

Solution :

Nous devons considérer deux conditions :

1) Pour la racine carrée : \(x - 1 \geq 0\), donc \(x \geq 1\)

2) Pour le dénominateur : \(x + 2 \neq 0\), donc \(x \neq -2\)

Comme \(x \geq 1\), la condition \(x \neq -2\) est automatiquement satisfaite.

Donc, le domaine de définition est : \(D_k = [1, +\infty[\)

Déterminez le domaine de définition de la fonction :

\[ m(x) = \sqrt{\frac{x-3}{x+2}} + \ln(4-x^2) \]

Solution :

Nous devons considérer trois conditions :

1) Pour la fraction sous la racine : \(x + 2 > 0\), donc \(x > -2\)

2) Pour la racine carrée : \(\frac{x-3}{x+2} \geq 0\)

Cela donne : \(x \leq 3\) (car \(x > -2\) d'après la condition 1)

3) Pour le logarithme : \(4-x^2 > 0\), donc \(-2 < x < 2\)

En combinant toutes ces conditions, nous obtenons :

\(D_m = ]-2, 2[\)