Introduction aux limites et à la continuité
Les notions de limites et de continuité sont fondamentales en analyse mathématique. Elles permettent d'étudier le comportement d'une fonction lorsque la variable s'approche d'une valeur donnée ou tend vers l'infini.
1. Notion de limite
Définition : La limite d'une fonction \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) est la valeur vers laquelle \(f(x)\) s'approche lorsque \(x\) s'approche de \(a\).
Notation : \(\lim_{x \to a} f(x) = L\)
Types de limites :
- Limite finie en un point
- Limite infinie en un point
- Limite à l'infini
Exemple : Calculons la limite de \(f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}\) lorsque \(x\) tend vers 1.
On ne peut pas simplement remplacer \(x\) par 1, car cela donnerait une forme indéterminée \(\frac{0}{0}\).
En factorisant le numérateur : \(f(x) = \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} = x+1\) pour \(x \neq 1\)
Donc, \(\lim_{x \to 1} f(x) = 2\)
2. Continuité d'une fonction
Définition : Une fonction \(f\) est continue en un point \(a\) si les trois conditions suivantes sont remplies :
- \(f(a)\) existe
- \(\lim_{x \to a} f(x)\) existe
- \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)
Une fonction est dite continue sur un intervalle si elle est continue en chaque point de cet intervalle.
Théorème : Les fonctions polynomiales, exponentielles, logarithmiques et trigonométriques sont continues sur leur domaine de définition.
3. Représentation graphique
Voici une représentation graphique d'une fonction continue et d'une fonction discontinue :
4. Applications des limites et de la continuité
- Étude du comportement asymptotique d'une fonction
- Détection des points de discontinuité
- Théorème des valeurs intermédiaires
- Optimisation et résolution de problèmes
Note importante : La compréhension des limites et de la continuité est essentielle pour aborder des concepts plus avancés comme la dérivation et l'intégration.
5. Exercices proposés
- Calculez la limite de \(f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}\) lorsque \(x\) tend vers 2.
- Déterminez les points de discontinuité de la fonction \(g(x) = \frac{1}{x^2-1}\).
- Étudiez la continuité de la fonction \(h(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 0 \\ x+1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}\)