Exercices sur les Limites et la Continuité

Solution :

1) On ne peut pas simplement remplacer x par 2 car cela donnerait une forme indéterminée \(\frac{0}{0}\).

2) Factorisons le numérateur :

\(\frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x+2)(x-2)}{x-2}\)

3) Simplifions :

\(\frac{(x+2)(x-2)}{x-2} = x+2\) pour \(x \neq 2\)

4) Calculons la limite :

\(\lim_{x \to 2} (x+2) = 2+2 = 4\)

Donc, \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4\)

Solution :

1) La fonction est définie par morceaux. Nous devons vérifier la continuité en x = 0, point de jonction des deux expressions.

2) Vérifions les trois conditions de continuité en x = 0 :

a) \(f(0)\) existe : \(f(0) = 0 + 1 = 1\)

b) \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0\)

c) \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x+1) = 1\)

3) Comme \(\lim_{x \to 0^-} f(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x)\), la fonction n'est pas continue en x = 0.

Conclusion : La fonction f est continue sur \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\), mais présente une discontinuité en x = 0.

Solution :

1) Pour calculer cette limite, nous allons diviser le numérateur et le dénominateur par la plus haute puissance de x (ici x^2).

2) Réécrivons la fraction :

\[\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2+2x-1}{x^2+5} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{5}{x^2}}\]

3) Lorsque x tend vers l'infini, les termes en \(\frac{1}{x}\) et \(\frac{1}{x^2}\) tendent vers 0.

4) Donc :

\[\lim_{x \to +\infty} \frac{3+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{5}{x^2}} = \frac{3+0-0}{1+0} = 3\]

Ainsi, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2+2x-1}{x^2+5} = 3\)