1. Variation d'une fonction
L'étude des variations d'une fonction permet de comprendre comment elle évolue sur son domaine de définition.
Définition : Une fonction \(f\) est :
- croissante sur un intervalle \(I\) si pour tout \(x_1\) et \(x_2\) de \(I\), \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)\)
- décroissante sur un intervalle \(I\) si pour tout \(x_1\) et \(x_2\) de \(I\), \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)\)
Tableau de variations
Le tableau de variations résume les variations d'une fonction sur son domaine de définition.
Exemple : Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) sur \(\mathbb{R}\)
| x | \(-\infty\) | 2 | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| f(x) | \(+\infty\) | -1 | \(+\infty\) |
| Variations | \(\searrow\) | \(\nearrow\) |
2. Extrema d'une fonction
Les extrema sont les valeurs maximales ou minimales que prend une fonction sur un intervalle donné.
Définition :
- Un maximum local de \(f\) est un point \(a\) tel que \(f(a) \geq f(x)\) pour tout \(x\) dans un voisinage de \(a\).
- Un minimum local de \(f\) est un point \(a\) tel que \(f(a) \leq f(x)\) pour tout \(x\) dans un voisinage de \(a\).
Théorème : Si une fonction dérivable admet un extremum local en un point \(a\), alors sa dérivée s'annule en ce point : \(f'(a) = 0\).
Attention : La réciproque n'est pas toujours vraie. Un point où la dérivée s'annule n'est pas nécessairement un extremum (par exemple, un point d'inflexion).
Représentation graphique
Voici une représentation graphique d'une fonction avec ses variations et extrema :
3. Méthode pour étudier les variations et extrema
- Déterminer le domaine de définition de la fonction.
- Calculer la dérivée de la fonction.
- Étudier le signe de la dérivée pour déterminer les intervalles de croissance et de décroissance.
- Identifier les points où la dérivée s'annule ou n'est pas définie.
- Dresser le tableau de variations.
- Identifier les extrema locaux et globaux.
Exemple : Étudions les variations de \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) sur \(\mathbb{R}\)
1. Domaine de définition : \(\mathbb{R}\)
2. Dérivée : \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\)
3. Signe de \(f'(x)\) :
- \(f'(x) < 0\) pour \(x \in ]0,2[\)
- \(f'(x) > 0\) pour \(x \in ]-\infty,0[ \cup ]2,+\infty[\)
4. \(f'(x) = 0\) pour \(x = 0\) et \(x = 2\)
5. Tableau de variations :
| x | \(-\infty\) | 0 | 2 | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|
| f(x) | \(-\infty\) | 2 | -2 | \(+\infty\) |
| Variations | \(\nearrow\) | \(\searrow\) | \(\nearrow\) |
6. Extrema : Maximum local en \(x = 0\) et minimum local en \(x = 2\)
4. Applications
- Optimisation de fonctions
- Résolution de problèmes concrets (maximisation de profits, minimisation de coûts, etc.)
- Étude du comportement des fonctions en physique, économie, biologie, etc.
Exercices proposés
- Étudiez les variations de la fonction \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) sur \(\mathbb{R}\).
- Déterminez les extrema de la fonction \(g(x) = x^2e^{-x}\) sur \(\mathbb{R}_+\).
- Un rectangle a un périmètre de 20 cm. Exprimez son aire en fonction de sa largeur et déterminez les dimensions qui maximisent cette aire.