Exercices sur les Variations et Extrema

Solution :

1. Calculons la dérivée : \(f'(x) = 2x - 4\)
2. Résolvons \(f'(x) = 0\) : \(2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2\)
3. Étudions le signe de \(f'(x)\) :
   • Pour \(x < 2\), \(f'(x) < 0\) donc \(f\) est décroissante
   • Pour \(x > 2\), \(f'(x) > 0\) donc \(f\) est croissante
4. Tableau de variations :

   x	\(-\infty\)	2	\(+\infty\)
   f(x)	\(+\infty\)	-1	\(+\infty\)
   Variations	\(\searrow\)	\(\nearrow\)

Conclusion : La fonction admet un minimum global en \(x = 2\) et \(f(2) = -1\).

Solution :

1. Calculons la dérivée : \(g'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\)
2. Résolvons \(g'(x) = 0\) : \(3x(x-2) = 0 \Rightarrow x = 0\) ou \(x = 2\)
3. Étudions le signe de \(g'(x)\) :
   • Pour \(x < 0\), \(g'(x) > 0\) donc \(g\) est croissante
   • Pour \(0 < x < 2\), \(g'(x) < 0\) donc \(g\) est décroissante
   • Pour \(x > 2\), \(g'(x) > 0\) donc \(g\) est croissante
4. Tableau de variations :

   x	\(-\infty\)	0	2	\(+\infty\)
   g(x)	\(-\infty\)	1	-3	\(+\infty\)
   Variations	\(\nearrow\)	\(\searrow\)	\(\nearrow\)

Conclusion : La fonction admet :

• Un maximum local en \(x = 0\) avec \(g(0) = 1\)
• Un minimum local en \(x = 2\) avec \(g(2) = -3\)

Solution :

1. Calculons la dérivée : \(h'(x) = \frac{(x^2+1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\)
2. Résolvons \(h'(x) = 0\) : \(1-x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 1\)
3. Étudions le signe de \(h'(x)\) :
   • Pour \(|x| < 1\), \(h'(x) > 0\) donc \(h\) est croissante
   • Pour \(|x| > 1\), \(h'(x) < 0\) donc \(h\) est décroissante
4. Tableau de variations :

   x	\(-\infty\)	-1	0	1	\(+\infty\)
   h(x)	0	\(-\frac{1}{2}\)	0	\(\frac{1}{2}\)	0
   Variations	\(\nearrow\)	\(\nearrow\)	\(\nearrow\)	\(\searrow\)

Conclusion : La fonction admet :

• Un minimum local en \(x = -1\) avec \(h(-1) = -\frac{1}{2}\)
• Un maximum global en \(x = 1\) avec \(h(1) = \frac{1}{2}\)
• Une limite nulle en \(\pm\infty\)