La fonction carré
La fonction carré est une fonction de référence fondamentale en mathématiques. Elle est définie sur l'ensemble des nombres réels et associe à chaque nombre son carré.
Définition : La fonction carré, notée \(f\), est définie par :
\[f : x \mapsto x^2\]
ou de manière équivalente :
\[f(x) = x^2\]
1. Représentation graphique
Voici la représentation graphique de la fonction carré :
2. Propriétés de la fonction carré
Propriétés principales :
- Domaine de définition : \(\mathbb{R}\) (ensemble des nombres réels)
- Ensemble image : \([0, +\infty[\) (nombres réels positifs ou nuls)
- La courbe représentative est une parabole
- La fonction est paire : \(f(-x) = f(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\)
- La fonction admet un minimum global en \(x = 0\), qui vaut \(f(0) = 0\)
3. Tableau de variation
| x | \(-\infty\) | 0 | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| Variation de f | ↘ | 0 | ↗ |
4. Symétrie et parité
La fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Cela signifie que sa courbe représentative reste inchangée si on la "plie" selon l'axe des ordonnées.
Exemple : Vérifions la parité pour \(x = 2\) :
\(f(2) = 2^2 = 4\)
\(f(-2) = (-2)^2 = 4\)
On constate bien que \(f(2) = f(-2)\), ce qui illustre la parité de la fonction.
5. Résolution d'équations et d'inéquations
La fonction carré est utile pour résoudre certains types d'équations et d'inéquations :
- Équation : \(x^2 = a\) (avec \(a \geq 0\)) a pour solutions \(x = \pm\sqrt{a}\)
- Inéquation : \(x^2 > a\) (avec \(a \geq 0\)) a pour solutions \(x < -\sqrt{a}\) ou \(x > \sqrt{a}\)
Note : La fonction carré est strictement croissante sur \([0, +\infty[\) et strictement décroissante sur \(]-\infty, 0]\). Cette propriété est souvent utilisée pour résoudre des équations et des inéquations.
6. Applications de la fonction carré
La fonction carré apparaît dans de nombreux domaines :
- Géométrie : calcul d'aires, théorème de Pythagore
- Physique : lois du mouvement, énergie cinétique
- Statistiques : méthode des moindres carrés
- Économie : modèles quadratiques de coût ou de profit
7. Exercices proposés
- Tracez la courbe de \(g(x) = 2x^2 - 4\) et décrivez ses transformations par rapport à \(f(x) = x^2\).
- Résolvez l'équation \(x^2 = 9\).
- Résolvez l'inéquation \(x^2 < 4\).
- Déterminez les coordonnées du sommet de la parabole \(h(x) = -3x^2 + 6x + 1\).