Exercices sur la fonction carré

Solution :

1. Le sommet a pour abscisse \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(2)} = 1\).
   Son ordonnée est \(y_s = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = -1\).
   Les coordonnées du sommet sont donc (1, -1).
2. L'ordonnée à l'origine est \(f(0) = 1\).
3. L'axe de symétrie a pour équation \(x = 1\).
4. Comme \(a = 2 > 0\), la parabole est tournée vers le haut.
   La fonction décroît sur \(]-\infty, 1]\) et croît sur \([1, +\infty[\).

Solution :

1. \(x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4\). Les solutions sont -4 et 4.
2. \(x^2 - 4x + 3 = 0\) est une équation du second degré.
   \(\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4\)
   \(x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 - 2}{2} = 1\)
   \(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 + 2}{2} = 3\)
   Les solutions sont 1 et 3.
3. \(x^2 < 9 \Rightarrow -3 < x < 3\)
4. \(x^2 + 2x - 3 > 0\)
   Résolvons d'abord l'équation \(x^2 + 2x - 3 = 0\)
   \(\Delta = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16\)
   \(x_1 = \frac{-2 - 4}{2} = -3\) et \(x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1\)
   La parabole est au-dessus de l'axe des x pour \(x < -3\) ou \(x > 1\).
   Donc les solutions sont \(x \in ]-\infty, -3[ \cup ]1, +\infty[\).

Solution :

1. Le domaine de définition est \(\mathbb{R}\) (tous les nombres réels).
2. Le sommet a pour abscisse \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2(-3)} = 2\).
   Son ordonnée est \(y_s = g(2) = -3(2)^2 + 12(2) - 9 = -12 + 24 - 9 = 3\).
   Les coordonnées du sommet sont donc (2, 3).
3. Pour trouver les intersections avec l'axe des x, résolvons \(g(x) = 0\) :
   \(-3x^2 + 12x - 9 = 0\)
   \(\Delta = 12^2 - 4(-3)(-9) = 144 - 108 = 36\)
   \(x_1 = \frac{-12 - 6}{2(-3)} = 1\) et \(x_2 = \frac{-12 + 6}{2(-3)} = 3\)
   Les intersections sont aux points (1, 0) et (3, 0).
4. Le graphe est une parabole inversée (a < 0) avec un sommet en (2, 3) et des racines en x = 1 et x = 3.

Solution :

Soit x la largeur du champ et y sa longueur.

1. Le périmètre est donné par : \(2x + 2y = 100\)

2. On peut exprimer y en fonction de x : \(y = 50 - x\)

3. La surface S du champ est donnée par : \(S = xy = x(50-x) = 50x - x^2\)

4. Pour trouver le maximum de cette fonction du second degré, calculons son sommet :

\(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{50}{2(-1)} = 25\)

5. Les dimensions optimales sont donc : largeur = 25 m, longueur = 25 m

6. La surface maximale est : \(S = 25 \times 25 = 625\) m²

Conclusion : Le champ doit être un carré de 25 m de côté pour une surface maximale de 625 m².