Produit Scalaire (Première)

Accueil > Cours > Lycée > Première > Géométrie > Produit Scalaire

Introduction au produit scalaire

Le produit scalaire est une opération fondamentale en géométrie et en algèbre linéaire. Il permet de calculer l'angle entre deux vecteurs et de mesurer leur "ressemblance" directionnelle. En classe de Première, nous abordons le produit scalaire dans le plan.

Définition du produit scalaire

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan. Le produit scalaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), noté \(\vec{u} \cdot \vec{v}\), est défini par :

\[\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta)\] où \(\theta\) est l'angle entre les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

Propriétés du produit scalaire

  1. Commutativité : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\)
  2. Distributivité : \(\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}\)
  3. Bilinéarité : \((k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})\) pour tout réel \(k\)
  4. Le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même est égal au carré de sa norme : \(\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2\)

Calcul du produit scalaire dans un repère orthonormé

Dans un repère orthonormé, si \(\vec{u}(x_1, y_1)\) et \(\vec{v}(x_2, y_2)\), alors :

\[\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2\]

Applications du produit scalaire

  1. Calcul de l'angle entre deux vecteurs
  2. Détermination de l'orthogonalité de deux vecteurs
  3. Calcul de projections orthogonales
  4. Établissement d'équations de droites et de cercles

Exemple

Soient \(\vec{u}(3, 4)\) et \(\vec{v}(-1, 2)\). Calculons leur produit scalaire :

\[\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times (-1) + 4 \times 2 = -3 + 8 = 5\]

Vérifions avec la formule de la norme et du cosinus :

\[\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\]

\[\|\vec{v}\| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}\]

\[\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} = \frac{5}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\]

On peut en déduire l'angle \(\theta\) entre les vecteurs :

\[\theta = \arccos(\frac{1}{\sqrt{5}}) \approx 63.4°\]

Visualisation interactive

Utilisez cette visualisation interactive pour explorer le produit scalaire de deux vecteurs :

Exercices

Pour vous entraîner sur le produit scalaire, essayez ces exercices :

  1. Calculez le produit scalaire de \(\vec{a}(2, -1)\) et \(\vec{b}(3, 4)\).
  2. Déterminez si les vecteurs \(\vec{u}(1, 2)\) et \(\vec{v}(-2, 1)\) sont orthogonaux.
  3. Trouvez l'angle entre les vecteurs \(\vec{p}(3, 0)\) et \(\vec{q}(2, 2)\).
Plus d'exercices