Les probabilités conditionnelles permettent de calculer la probabilité d'un événement sachant qu'un autre événement s'est déjà produit. Cette notion est fondamentale pour comprendre de nombreux phénomènes aléatoires dans la vie réelle.
La probabilité conditionnelle de A sachant B, notée P(A|B), est définie comme la probabilité que l'événement A se réalise sachant que l'événement B s'est déjà produit.
Où :
Problème : Dans une classe de 30 élèves, 18 sont des filles et 12 sont des garçons. Parmi les filles, 10 portent des lunettes, tandis que 4 garçons en portent. Quelle est la probabilité qu'un élève soit une fille sachant qu'il porte des lunettes ?
Solution :
Soit F l'événement "être une fille" et L l'événement "porter des lunettes".
Nous cherchons P(F|L).
P(F|L) = P(F ∩ L) / P(L)
P(F ∩ L) = 10/30 = 1/3
P(L) = (10 + 4) / 30 = 14/30 = 7/15
Donc, P(F|L) = (1/3) / (7/15) = 5/7 ≈ 0.714
La probabilité qu'un élève soit une fille sachant qu'il porte des lunettes est d'environ 71.4%.
Le théorème des probabilités totales est un outil puissant pour calculer la probabilité d'un événement en le décomposant selon des événements qui forment une partition de l'univers.
Où les événements B₁, B₂, ..., Bₙ forment une partition de l'univers.
La formule de Bayes permet de "renverser" les probabilités conditionnelles. Elle est particulièrement utile dans les problèmes d'inférence statistique.
Les probabilités conditionnelles sont utilisées dans de nombreux domaines :
Il est crucial de ne pas confondre P(A|B) et P(B|A). Ces deux probabilités sont généralement différentes !