1. Définition d'une variable aléatoire
Une variable aléatoire X est une fonction qui associe à chaque événement élémentaire d'une expérience aléatoire un nombre réel.
Exemple :
Lors du lancer d'un dé à 6 faces, on peut définir la variable aléatoire X comme le nombre obtenu sur la face supérieure. Dans ce cas, X peut prendre les valeurs 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
2. Loi de probabilité d'une variable aléatoire
La loi de probabilité d'une variable aléatoire X est la donnée de l'ensemble des valeurs que peut prendre X et des probabilités associées à chacune de ces valeurs.
Exemple :
Pour un dé équilibré à 6 faces, la loi de probabilité de X est :
| xi | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| pi | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
3. Espérance mathématique
L'espérance mathématique E(X) d'une variable aléatoire X est la moyenne pondérée des valeurs que peut prendre X, où les coefficients de pondération sont les probabilités associées à ces valeurs.
E(X) = Σ xi * pi
Propriété :
L'espérance est linéaire : E(aX + b) = aE(X) + b, où a et b sont des constantes réelles.
4. Variance et écart-type
La variance V(X) d'une variable aléatoire X mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance :
V(X) = E((X - E(X))²) = Σ (xi - E(X))² * pi
L'écart-type σ(X) est la racine carrée de la variance :
σ(X) = √V(X)
Propriété :
Pour toute constante réelle a et b :
V(aX + b) = a²V(X)
σ(aX + b) = |a|σ(X)