Exercices sur les Variables Aléatoires (1ère)

Accueil > Exercices > Lycée > Première > Probabilités et Statistiques > Variables Aléatoires
Exercice 1 : Loi de probabilité

On lance un dé équilibré à 6 faces. Soit X la variable aléatoire qui associe à chaque lancer la valeur absolue de la différence entre le nombre obtenu et 3,5.

  1. Déterminer l'ensemble des valeurs possibles pour X.
  2. Donner la loi de probabilité de X.

Solution :

  1. Les valeurs possibles pour X sont : 0,5 ; 1,5 ; 2,5
  2. Loi de probabilité de X :
    xi 0,5 1,5 2,5
    pi 1/3 1/3 1/3
Exercice 2 : Espérance et variance

On considère une urne contenant 3 boules rouges, 2 boules vertes et 1 boule bleue. On tire une boule au hasard et on définit la variable aléatoire X de la façon suivante :

  • X = 1 si la boule est rouge
  • X = 2 si la boule est verte
  • X = 3 si la boule est bleue
  1. Donner la loi de probabilité de X.
  2. Calculer l'espérance E(X).
  3. Calculer la variance V(X) et l'écart-type σ(X).

Solution :

  1. Loi de probabilité de X :
    xi 1 2 3
    pi 1/2 1/3 1/6
  2. E(X) = 1 × (1/2) + 2 × (1/3) + 3 × (1/6) = 5/3 ≈ 1,67
  3. V(X) = (1 - 5/3)² × (1/2) + (2 - 5/3)² × (1/3) + (3 - 5/3)² × (1/6) = 11/18 ≈ 0,61
    σ(X) = √(11/18) ≈ 0,78
Exercice 3 : Application concrète

Un jeu consiste à lancer deux dés équilibrés. Le joueur gagne 5€ si la somme des deux dés est 7, perd 2€ si la somme est 2 ou 12, et ne gagne ni ne perd rien dans les autres cas. Soit X la variable aléatoire représentant le gain du joueur.

  1. Déterminer la loi de probabilité de X.
  2. Calculer l'espérance de gain E(X).
  3. Le jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.

Solution :

  1. Loi de probabilité de X :
    xi -2 0 5
    pi 1/18 5/9 1/6
  2. E(X) = -2 × (1/18) + 0 × (5/9) + 5 × (1/6) = 5/6 ≈ 0,83€
  3. L'espérance de gain est positive, donc le jeu est favorable au joueur à long terme.
Revoir le cours