Spécialité Mathématiques - Lycée
Les lois continues sont des distributions de probabilité pour des variables aléatoires qui peuvent prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle continu. Contrairement aux lois discrètes, les lois continues ne peuvent pas être décrites par une fonction de masse de probabilité, mais plutôt par une fonction de densité de probabilité.
Une variable aléatoire X est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle de \(\mathbb{R}\). Sa loi de probabilité est décrite par une fonction \(f\) appelée densité de probabilité.
La fonction de densité de probabilité (FDP) est une fonction qui décrit la probabilité relative pour une variable aléatoire continue de prendre une valeur donnée.
Pour une fonction de densité \(f(x)\) sur un intervalle \([a,b]\) :
La fonction de répartition F(x) d'une variable aléatoire continue X est définie par :
Pour une variable aléatoire continue, la probabilité que X prenne exactement une valeur est toujours nulle : \(P(X = a) = 0\) pour tout a.
Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l'intervalle [a,b] si sa densité est constante sur cet intervalle.
Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda > 0\) si sa densité est donnée par :
Une variable aléatoire X suit une loi normale de paramètres \(\mu\) (espérance) et \(\sigma\) (écart-type) si sa densité est donnée par :
Voici des représentations graphiques de la fonction de densité et de la fonction de répartition pour une loi normale standard (μ=0, σ=1).
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