Cours sur les Lois Continues

Spécialité Mathématiques - Lycée

1. Introduction aux lois continues

Les lois continues sont des distributions de probabilité pour des variables aléatoires qui peuvent prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle continu. Contrairement aux lois discrètes, les lois continues ne peuvent pas être décrites par une fonction de masse de probabilité, mais plutôt par une fonction de densité de probabilité.

Définition : Variable aléatoire continue

Une variable aléatoire X est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle de \(\mathbb{R}\). Sa loi de probabilité est décrite par une fonction \(f\) appelée densité de probabilité.

2. Fonction de densité de probabilité

La fonction de densité de probabilité (FDP) est une fonction qui décrit la probabilité relative pour une variable aléatoire continue de prendre une valeur donnée.

Propriétés de la fonction de densité

Pour une fonction de densité \(f(x)\) sur un intervalle \([a,b]\) :

  1. \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x\) dans \([a,b]\)
  2. \(\int_{a}^{b} f(x) dx = 1\)
  3. La probabilité que X soit dans un intervalle \([c,d]\) est donnée par : \(P(c \leq X \leq d) = \int_{c}^{d} f(x) dx\)

3. Fonction de répartition

La fonction de répartition F(x) d'une variable aléatoire continue X est définie par :

\[F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt\]

Note importante

Pour une variable aléatoire continue, la probabilité que X prenne exactement une valeur est toujours nulle : \(P(X = a) = 0\) pour tout a.

4. Exemples de lois continues

4.1 Loi uniforme continue

Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l'intervalle [a,b] si sa densité est constante sur cet intervalle.

\[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{si } x \in [a,b] \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}\]

4.2 Loi exponentielle

Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda > 0\) si sa densité est donnée par :

\[f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{si } x \geq 0 \\ 0 & \text{si } x < 0 \end{cases}\]

4.3 Loi normale (ou gaussienne)

Une variable aléatoire X suit une loi normale de paramètres \(\mu\) (espérance) et \(\sigma\) (écart-type) si sa densité est donnée par :

\[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}\]

5. Visualisation des lois continues

Voici des représentations graphiques de la fonction de densité et de la fonction de répartition pour une loi normale standard (μ=0, σ=1).

6. Exercices et applications

Pour consolider vos connaissances sur les lois continues, nous vous recommandons de :

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