Module et argument d'un nombre complexe

Nombres Complexes - Spécialité Mathématiques

1. Le module d'un nombre complexe

Le module d'un nombre complexe z = a + bi, noté |z|, représente la distance entre le point z et l'origine du plan complexe.

|z| = √(a² + b²)

Le module a plusieurs propriétés importantes :

Exemple

Soit z = 3 + 4i

|z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

2. L'argument d'un nombre complexe

L'argument d'un nombre complexe z ≠ 0, noté arg(z), est l'angle orienté entre l'axe réel positif et le vecteur OZ, où O est l'origine et Z le point représentant z dans le plan complexe.

arg(z) = arctan(b/a) si a > 0 arg(z) = arctan(b/a) + π si a < 0 arg(z) = π/2 si a = 0 et b > 0 arg(z) = -π/2 si a = 0 et b < 0

L'argument est défini modulo 2π, ce qui signifie qu'on peut lui ajouter ou soustraire 2π sans changer sa valeur.

Exemple

Soit z = -1 + √3i

arg(z) = arctan(√3/(-1)) + π = -π/3 + π = 2π/3

3. Forme trigonométrique

Le module et l'argument permettent d'exprimer un nombre complexe sous sa forme trigonométrique :

z = |z| × (cos(arg(z)) + i × sin(arg(z)))

Cette forme est particulièrement utile pour certaines opérations comme la multiplication ou l'élévation à la puissance.

Visualisation interactive

Utilisez le curseur ci-dessous pour visualiser le module et l'argument d'un nombre complexe dans le plan complexe.