Introduction
La forme trigonométrique des nombres complexes est une représentation alternative qui utilise les fonctions trigonométriques cosinus et sinus. Cette forme est particulièrement utile pour certaines opérations et pour visualiser les nombres complexes sur le cercle trigonométrique.
Définition
Un nombre complexe \(z\) peut être écrit sous la forme trigonométrique :
\[z = r(\cos \theta + i \sin \theta)\]
où :
- \(r\) est le module de \(z\)
- \(\theta\) est l'argument de \(z\) (en radians)
Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique
Si \(z = a + bi\), alors :
- \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\)
- \(\theta = \arctan(\frac{b}{a})\) (avec des ajustements selon le quadrant)
Exemple
Soit \(z = 1 + i\). Trouvons sa forme trigonométrique.
1. Calculons le module : \(r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)
2. Calculons l'argument : \(\theta = \arctan(\frac{1}{1}) = \frac{\pi}{4}\)
Donc, \(z = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})\)
Propriétés
1. Multiplication : \(z_1 \cdot z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2)]\)
2. Division : \(\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2)]\)
3. Puissance (formule de De Moivre) : \(z^n = r^n[\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)]\)
Visualisation sur le cercle trigonométrique
La forme trigonométrique permet de visualiser facilement les nombres complexes sur le cercle trigonométrique unitaire.
Conclusion
La forme trigonométrique des nombres complexes offre une perspective géométrique puissante et facilite certaines opérations, notamment la multiplication et l'élévation à la puissance.