1. Introduction à la forme exponentielle
La forme exponentielle des nombres complexes est une représentation puissante qui facilite certaines opérations, notamment la multiplication et l'élévation à la puissance. Elle est basée sur la formule d'Euler, qui établit un lien fondamental entre les fonctions trigonométriques et la fonction exponentielle.
2. La formule d'Euler
La formule d'Euler s'énonce ainsi :
\[e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)\]
où \(e\) est le nombre d'Euler (base des logarithmes naturels), \(i\) est l'unité imaginaire, et \(\theta\) est un angle exprimé en radians.
3. Forme exponentielle d'un nombre complexe
Tout nombre complexe \(z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\) peut s'écrire sous la forme exponentielle :
\[z = re^{i\theta}\]
où \(r\) est le module de \(z\) et \(\theta\) son argument.
Exemple :
Le nombre complexe \(z = 2(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))\) s'écrit sous forme exponentielle :
\[z = 2e^{i\frac{\pi}{4}}\]
4. Avantages de la forme exponentielle
- Multiplication : \(z_1 \cdot z_2 = r_1e^{i\theta_1} \cdot r_2e^{i\theta_2} = r_1r_2e^{i(\theta_1 + \theta_2)}\)
- Division : \(\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1 - \theta_2)}\)
- Puissance : \((re^{i\theta})^n = r^ne^{in\theta}\)
5. Passage de la forme algébrique à la forme exponentielle
Pour un nombre complexe \(z = a + bi\) :
- Calculer le module : \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\)
- Calculer l'argument : \(\theta = \arctan(\frac{b}{a})\) (attention aux quadrants !)
- Écrire \(z = re^{i\theta}\)
Note importante :
L'argument \(\theta\) n'est pas unique ! On peut ajouter n'importe quel multiple de \(2\pi\) à \(\theta\) sans changer la valeur du nombre complexe. On choisit généralement l'argument principal, qui est dans l'intervalle \(]-\pi, \pi]\).
6. Applications
La forme exponentielle est particulièrement utile pour :
- Résoudre des équations complexes
- Étudier les racines n-ièmes d'un nombre complexe
- Analyser les transformations géométriques dans le plan complexe
- Simplifier les calculs en analyse harmonique
Conclusion
La forme exponentielle des nombres complexes offre une perspective puissante pour manipuler ces nombres. Elle simplifie de nombreuses opérations et permet de mieux comprendre la nature cyclique des nombres complexes sur le cercle unité.