Nombres Complexes - Spécialité Mathématiques
La multiplication de deux nombres complexes \(z_1 = a + bi\) et \(z_2 = c + di\) est définie comme suit :
Calculons \((2 + 3i) \times (1 - 2i)\) :
\((2 + 3i)(1 - 2i) = (2 \times 1 - 3 \times (-2)) + (2 \times (-2) + 3 \times 1)i\)
\(= (2 + 6) + (-4 + 3)i = 8 - i\)
Pour diviser deux nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :
Calculons \(\frac{3 + 2i}{1 - i}\) :
\(\frac{3 + 2i}{1 - i} = \frac{(3 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{(3 + 3 + 2 - 2) + (2 + 1 - 3 + 1)i}{1 + 1} = \frac{4 + i}{2} = 2 + \frac{1}{2}i\)
Pour calculer les puissances de nombres complexes, il est souvent plus simple d'utiliser la forme trigonométrique ou exponentielle.
où \(r\) est le module de \(z\) et \(\theta\) son argument.
Calculons \((1 + i)^4\) :
D'abord, convertissons \(1 + i\) en forme trigonométrique :
\(r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\), \(\theta = \frac{\pi}{4}\)
\((1 + i)^4 = (\sqrt{2})^4 (\cos(\frac{4\pi}{4}) + i\sin(\frac{4\pi}{4}))\)
\(= 4 (\cos(\pi) + i\sin(\pi)) = 4(-1 + 0i) = -4\)
Les racines n-ièmes d'un nombre complexe \(z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\) sont données par la formule :
où \(k = 0, 1, 2, ..., n-1\)
Trouvons les racines cubiques de -8 :
-8 peut s'écrire sous forme complexe : \(8(\cos(\pi) + i\sin(\pi))\)
Les racines cubiques sont :
\(z_k = 2 \left(\cos\left(\frac{\pi + 2k\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 2k\pi}{3}\right)\right)\), pour \(k = 0, 1, 2\)
\(z_0 = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3})) = 1 + i\sqrt{3}\)
\(z_1 = 2(\cos(\pi) + i\sin(\pi)) = -2\)
\(z_2 = 2(\cos(\frac{5\pi}{3}) + i\sin(\frac{5\pi}{3})) = 1 - i\sqrt{3}\)
La maîtrise de ces opérations avancées est cruciale pour résoudre des problèmes complexes en analyse complexe et en physique quantique. Pratiquez régulièrement ces calculs pour développer votre intuition et votre aisance avec les nombres complexes.