Introduction
Les nombres complexes offrent une manière élégante de représenter et d'effectuer des transformations géométriques dans le plan. Dans cette leçon, nous explorerons comment utiliser les nombres complexes pour décrire et appliquer des rotations, des homothéties, et d'autres transformations importantes.
1. Rotations
Une rotation d'angle θ autour de l'origine peut être représentée par la multiplication par un nombre complexe de module 1.
où z est le point initial et z' le point après rotation.
2. Homothéties
Une homothétie de rapport k centrée à l'origine est représentée par la multiplication par un nombre réel k.
Si k > 1, il s'agit d'une dilatation, si 0 < k < 1, c'est une contraction.
3. Translations
Une translation de vecteur u = a + bi est représentée par l'addition d'un nombre complexe.
4. Similitudes
Une similitude est une composition d'une rotation, d'une homothétie et d'une translation. Elle peut s'écrire sous la forme :
où α et β sont des nombres complexes, avec α ≠ 0.
Exemple
Considérons la transformation f(z) = 2iz + (1+i).
Cette transformation est une similitude qui :
- Multiplie par 2 (homothétie de rapport 2)
- Effectue une rotation de 90° (multiplication par i)
- Translate de 1 unité vers la droite et 1 unité vers le haut (addition de 1+i)
5. Inversion
L'inversion par rapport au cercle unité est donnée par :
où z̄ est le conjugué de z.
Visualisation interactive
Utilisez les boutons ci-dessous pour appliquer différentes transformations à un point du plan complexe.