Le Produit Scalaire

Introduction

Le produit scalaire est une opération fondamentale en algèbre linéaire et en géométrie. Il permet de quantifier la relation entre deux vecteurs, notamment en termes d'angle et de projection.

Définition

Le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) dans un espace euclidien est noté \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) et peut être défini de plusieurs façons équivalentes :

Algébriquement : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\) (en 3D)
Géométriquement : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta)\)

où \(\theta\) est l'angle entre les deux vecteurs.

Propriétés

Commutativité : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\)
Distributivité : \(\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}\)
Bilinéarité : \((a\vec{u}) \cdot (b\vec{v}) = ab(\vec{u} \cdot \vec{v})\)

Applications du Produit Scalaire

Exemple 1: Calcul d'angle

Pour trouver l'angle entre deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), on peut utiliser la formule :

\(\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|}\)

Exemple 2: Projection

La projection de \(\vec{u}\) sur \(\vec{v}\) est donnée par :

\(\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2} \vec{v}\)

Théorème: Orthogonalité

Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

\(\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)

Démonstration Interactive

Explorez le produit scalaire avec cette démonstration interactive :

Exercices

Mettez en pratique vos connaissances avec ces exercices :

Calculez le produit scalaire de \(\vec{u} = (1, 2, 3)\) et \(\vec{v} = (4, -1, 2)\).
Déterminez l'angle entre les vecteurs \(\vec{a} = (1, 1)\) et \(\vec{b} = (3, -3)\).
Prouvez que les vecteurs \(\vec{p} = (2, -1, 2)\) et \(\vec{q} = (1, 2, 1)\) sont orthogonaux.

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Conclusion

Le produit scalaire est un outil puissant en mathématiques, avec des applications dans de nombreux domaines tels que la physique, l'informatique graphique et l'apprentissage automatique. Sa maîtrise est essentielle pour une compréhension approfondie de la géométrie vectorielle et de l'algèbre linéaire.

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