La dérivation est un concept fondamental en analyse mathématique. Elle permet d'étudier les variations d'une fonction et de calculer sa pente en tout point.
La dérivée d'une fonction f en un point x est définie par :
(u + v)' = u' + v'
(u × v)' = u' × v + u × v'
Si f(x) = g(u(x)), alors f'(x) = g'(u(x)) × u'(x)
La dérivée permet d'étudier les variations d'une fonction :
Soit f(x) = x³ - 3x² + 2
1) Calculons f'(x) :
f'(x) = 3x² - 6x
2) Étudions le signe de f'(x) :
f'(x) = 3x(x - 2)
f'(x) s'annule pour x = 0 et x = 2
3) Tableau de variations :
f est décroissante sur [0, 2] et croissante sur ]-∞, 0] et [2, +∞[
Le graphique ci-dessous montre la fonction f(x) = x³ - 3x² + 2 et sa dérivée f'(x) = 3x² - 6x :