MathEsprit - Cours sur la Fonction Exponentielle (Terminale)

1. Introduction à la fonction exponentielle

La fonction exponentielle, notée \(exp\) ou \(e^x\), est une fonction fondamentale en mathématiques. Elle est définie comme l'unique fonction \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que :

\[ f'(x) = f(x) \quad \text{et} \quad f(0) = 1 \]

Cette fonction joue un rôle crucial dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences appliquées.

2. Propriétés fondamentales

La fonction exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb{R}\).
Elle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Son ensemble de définition est \(\mathbb{R}\) et son ensemble d'arrivée est \(\mathbb{R}^+_*\).
Elle vérifie la propriété fondamentale : \(e^{x+y} = e^x \times e^y\) pour tous réels \(x\) et \(y\).

3. Représentation graphique

Le graphe de la fonction exponentielle est caractérisé par sa croissance rapide pour les valeurs positives de x et sa décroissance lente pour les valeurs négatives.

4. Propriétés algébriques

Les propriétés suivantes sont fondamentales pour manipuler les expressions contenant des exponentielles :

\begin{align*} e^a \times e^b &= e^{a+b} \\ \frac{e^a}{e^b} &= e^{a-b} \\ (e^a)^n &= e^{an} \\ e^0 &= 1 \\ e^{-x} &= \frac{1}{e^x} \end{align*}

5. Applications

La fonction exponentielle est utilisée dans de nombreux domaines :

Croissance et décroissance exponentielle en physique et biologie
Intérêts composés en finance
Résolution d'équations différentielles
Modélisation de phénomènes naturels

Exemple : Croissance bactérienne

Supposons qu'une population de bactéries double toutes les 20 minutes. Si on commence avec 100 bactéries, leur nombre après t minutes est donné par :

\[ N(t) = 100 \times 2^{\frac{t}{20}} = 100 \times e^{\frac{t\ln(2)}{20}} \]

6. Exercices

Pour bien maîtriser la fonction exponentielle, il est important de pratiquer avec divers exercices. Voici quelques types d'exercices courants :

Résolution d'équations exponentielles
Étude de fonctions contenant des exponentielles
Problèmes de modélisation utilisant la fonction exponentielle

Accéder aux exercices

Note importante

La fonction exponentielle est l'inverse de la fonction logarithme népérien. Cette relation est cruciale et sera explorée plus en détail dans le cours sur les fonctions logarithmiques.