MathEsprit - Exercices sur la Fonction Exponentielle (Terminale)

Voici une série d'exercices pour vous entraîner sur la fonction exponentielle. Les exercices sont classés par difficulté croissante.

Exercice 1

Difficulté : Facile

Résoudre l'équation suivante :

\[ e^x = 5 \]

Pour résoudre cette équation, nous utilisons la fonction logarithme népérien (ln), qui est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

\begin{align*} e^x &= 5 \\ \ln(e^x) &= \ln(5) \\ x &= \ln(5) \end{align*}

Donc, la solution est \(x = \ln(5) \approx 1,61\).

Difficulté : Moyenne

Étudier les variations de la fonction suivante sur \(\mathbb{R}\) :

\[ f(x) = x e^{-x} \]

1) Calculons la dérivée de f :

\begin{align*} f'(x) &= e^{-x} + x(-e^{-x}) \\ &= e^{-x}(1-x) \end{align*}

2) Étudions le signe de f'(x) :

3) Calculons les limites :

\begin{align*} \lim_{x \to -\infty} f(x) &= 0 \\ \lim_{x \to +\infty} f(x) &= 0 \end{align*}

Conclusion : f admet un maximum global en x = 1, avec f(1) = 1/e. La fonction tend vers 0 en -∞ et +∞.

Difficulté : Difficile

Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[ f(x) = e^x - x - 1 \]

1) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α sur \(\mathbb{R}\).

2) Donner un encadrement de α à 10^-2 près.

1) Pour montrer l'unicité de la solution :

Calculons f'(x) : f'(x) = e^x - 1
f' est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) car e^x > 0
f'(0) = 0, donc f' > 0 pour x > 0 et f' < 0 pour x < 0
f est donc strictement décroissante sur ]-∞, 0] et strictement croissante sur [0, +∞[
f(0) = 0 et \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\), donc f s'annule une unique fois sur \(\mathbb{R}\)

2) Encadrement de α :

On peut affiner cet encadrement par dichotomie ou avec la méthode de Newton. On trouve que α ≈ 0,57 à 10^-2 près.