La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est définie sur ]0; +∞[ et prend ses valeurs dans ℝ.
Pour tout réel strictement positif x :
\[ y = \ln(x) \Leftrightarrow e^y = x \]
La dérivée de la fonction logarithme népérien est :
\[ (\ln x)' = \frac{1}{x} \]
Une primitive de la fonction logarithme népérien sur ]0; +∞[ est :
\[ F(x) = x\ln(x) - x + C \]
Résoudre l'équation : ln(x) = 2
Solution : e^(ln(x)) = e^2
x = e^2 ≈ 7.389
Calculer \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} \)
On peut utiliser la règle de l'Hôpital :
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \]
Pour vous entraîner sur la fonction logarithme, essayez ces exercices :
Accéder aux exercicesLa fonction logarithme joue un rôle crucial dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique, notamment :