Introduction à la géométrie dans l'espace
La géométrie dans l'espace en Terminale approfondit les notions vues en Seconde et Première, en se concentrant sur les droites et les plans dans l'espace, le calcul vectoriel, et les équations paramétriques.
Vecteurs dans l'espace
Un vecteur dans l'espace est caractérisé par trois composantes (x, y, z). Les opérations sur les vecteurs (addition, multiplication par un scalaire) s'étendent naturellement à l'espace tridimensionnel.
→ = (x, y, z)
||→|| = √(x² + y² + z²)
Droites dans l'espace
Une droite dans l'espace peut être définie par un point et un vecteur directeur, ou par des équations paramétriques.
Équations paramétriques d'une droite :
x = x₀ + at
y = y₀ + bt
z = z₀ + ct
où (x₀, y₀, z₀) est un point de la droite et (a, b, c) est un vecteur directeur.
Plans dans l'espace
Un plan dans l'espace peut être défini par un point et deux vecteurs non colinéaires, ou par une équation cartésienne.
Équation cartésienne d'un plan :
ax + by + cz + d = 0
où (a, b, c) est un vecteur normal au plan.
Produit scalaire dans l'espace
Le produit scalaire de deux vecteurs → = (x₁, y₁, z₁) et → = (x₂, y₂, z₂) est défini par :
→ · → = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂
Le produit scalaire permet de calculer des angles entre des vecteurs et d'établir l'orthogonalité.
Produit vectoriel
Le produit vectoriel de deux vecteurs → = (x₁, y₁, z₁) et → = (x₂, y₂, z₂) est défini par :
→ × → = (y₁z₂ - z₁y₂, z₁x₂ - x₁z₂, x₁y₂ - y₁x₂)
Le produit vectoriel est perpendiculaire aux deux vecteurs initiaux et permet de calculer des aires.
Exemple
Soit une droite D passant par le point A(1, 2, 3) et de vecteur directeur → = (2, -1, 1).
Les équations paramétriques de D sont :
x = 1 + 2t
y = 2 - t
z = 3 + t
où t est un paramètre réel.