1. Introduction à l'intégration
L'intégration est un concept fondamental en mathématiques qui permet de calculer l'aire sous une courbe. Elle est l'opération inverse de la dérivation et a de nombreuses applications en physique, en économie et dans d'autres domaines scientifiques.
2. Définition de l'intégrale
Pour une fonction f continue sur un intervalle [a,b], l'intégrale de f de a à b est notée :
∫ab f(x) dx
Cette intégrale représente l'aire algébrique sous la courbe de f entre a et b.
3. Propriétés fondamentales
- Linéarité : ∫(αf + βg) = α∫f + β∫g
- Positivité : Si f ≥ 0 sur [a,b], alors ∫ab f(x) dx ≥ 0
- Relation de Chasles : ∫ac = ∫ab + ∫bc
4. Théorème fondamental de l'analyse
Si F est une primitive de f sur [a,b], alors :
∫ab f(x) dx = F(b) - F(a)
5. Méthodes de calcul
Il existe plusieurs méthodes pour calculer une intégrale :
- Utilisation des primitives
- Intégration par parties
- Changement de variable
Exemple :
Calculons ∫01 x² dx
Une primitive de x² est F(x) = x³/3
Donc, ∫01 x² dx = [x³/3]01 = 1/3 - 0 = 1/3