La notion de limite est fondamentale en analyse mathématique. Elle permet d'étudier le comportement d'une fonction lorsque la variable s'approche d'une valeur donnée ou tend vers l'infini.
Intuitivement, la limite d'une fonction \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\) est la valeur dont \(f(x)\) se rapproche arbitrairement lorsque \(x\) s'approche de \(a\).
On distingue plusieurs types de limites :
Certaines limites sont à connaître par cœur :
Pour calculer des limites plus complexes, on utilise des règles d'opérations :
Si \(\lim f(x) = a\) et \(\lim g(x) = b\), alors :
La notion de limite est étroitement liée à celle de continuité.
Une fonction \(f\) est continue en un point \(a\) si :
Ce théorème est une conséquence importante de la continuité :
Si \(f\) est continue sur \([a,b]\) et que \(f(a) < k < f(b)\), alors il existe \(c\) dans \(]a,b[\) tel que \(f(c) = k\).
Calculons \(\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 3x - 1}{x^2 - 2x + 4}\)
Solution : On divise le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré, \(x^2\) :
Pour plus d'exercices et d'exemples, consultez notre page d'exercices sur les limites.
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